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Floyd算法(弗洛伊德算法) 百度百科
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核心代码
for(int k=1; k<=NODE; ++k)//对于每一个中转点
for(int i=0; i<=NODE; ++i)//枚举源点
for(int j=0; j<=NODE; ++j)//枚举终点
if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不满足三角不等式
{
distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新
path[i][j]=k;//记录路径
}
状态转移方程
其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；
map[i,j]表示i到j的最短距离，K是穷举
i,j的断点
，map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。
当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路。
时间复杂度与空间复杂度
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时间复杂度:O(n^3)；
空间复杂度:O(n^2)[1]
优缺点分析
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Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法，也要高于执行V次SPFA算法。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
算法描述
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a) 初始化：D[u,v]=A[u,v]
b) For k:=1 to n
For i:=1 to n
For j:=1 to n
If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then
D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];
c) 算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵
参考代码
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 1000000000
int
d[1000][1000],path[1000][1000];
int
main()
{
int
i,j,k,m,n;
int
x,y,z;
scanf
(
"%d%d"
,&n,&m);
for
(i=1;i<=n;i++)
for
(j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=max;
path[i][j]=j;
}
for
(i=1;i<=m;i++)
{
scanf
(
"%d%d%d"
,&x,&y,&z);
d[x][y]=z;
d[y][x]=z;
}
for
(k=1;k<=n;k++)
for
(i=1;i<=n;i++)
for
(j=1;j<=n;j++)
{
if
(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]){
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
path[i][j]=path[i][k];
}
}
for
(i=1;i<=n;i++)
for
(j=1;j<=i;j++)
if
(i!=j)
printf
(
"%d->%d:%d\n"
,i,j,d[i][j]);
int
f,en;
scanf
(
"%d%d"
,&f,&en);
while
(f!=en){
printf
(
"%d->"
,f);
f=path[f][en];
}
printf
(
"%d\n"
,en);
return
0;
}
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C++语言
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#include<iostream>
#include<vector>
using
namespace
std;
const
int
&INF=100000000;
void
floyd(vector<vector<
int
> > &distmap,
//可被更新的邻接矩阵，更新后不能确定原有边
vector<vector<
int
> > &path)
//路径上到达该点的中转点
//福利：这个函数没有用除INF外的任何全局量，可以直接复制！
{
const
int
&NODE=distmap.size();
//用邻接矩阵的大小传递顶点个数，减少参数传递
path.assign(NODE,vector<
int
>(NODE,-1));
//初始化路径数组
for
(
int
k=1; k!=NODE; ++k)
//对于每一个中转点
for
(
int
i=0; i!=NODE; ++i)
//枚举源点
for
(
int
j=0; j!=NODE; ++j)
//枚举终点
if
(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])
//不满足三角不等式
{
distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];
//更新
path[i][j]=k;
//记录路径
}
}
void
print(
const
int
&beg,
const
int
&end,
const
vector<vector<
int
> > &path)
//传引用，避免拷贝，不占用内存空间
//也可以用栈结构先进后出的特性来代替函数递归
{
if
(path[beg][end]>=0)
{
print(beg,path[beg][end],path);
print(path[beg][end],end,path);
}
else
cout<<
"->"
<<end;
}
int
main()
{
int
n_num,e_num,beg,end;
//含义见下
cout<<
"（不处理负权回路）输入点数、边数："
;
cin>>n_num>>e_num;
vector<vector<
int
> > path,
distmap(n_num,vector<
int
>(n_num,INF));
//默认初始化邻接矩阵
for
(
int
i=0,p,q; i!=e_num; ++i)
{
cout<<
"输入第"
<<i+1<<
"条边的起点、终点、长度（100000000代表无穷大，不联通）："
;
cin>>p>>q;
cin>>distmap[p][q];
}
floyd(distmap,path);
cout<<
"计算完毕，可以开始查询，请输入出发点和终点："
;
cin>>beg>>end;
cout<<
"最短距离为"
<<distmap[beg][end]<<
"，打印路径："
<<beg;
print(beg,end,path);
}
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