正文
【集训队作业2018】矩阵玩小凹 NTT
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题目大意
有一个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，每个元素都是 \([0,1]\) 内的等概率随机实数，记 \(s_i=\sum_{j=1}^mA_{i,j}\)，求 \(\lfloor\min s_i\rfloor^k\) 的期望。
对 \(998244353\) 取模。
\(n\leq {10}^9,m\leq 5\times {10}^5,k\leq {10}^9\)
题解
我们只用求 \(\lfloor s_i\rfloor\) 为 \(0\) 到 \(m-1\) 中每个值的概率就好了。
记 \(b_i=\sum_{j=1}^iA_{1,j}-\lfloor\sum_{j=1}^iA_{1,j}\rfloor,c_i=\lfloor\sum_{j=1}^iA_{1,j}\rfloor\)，那么 \(b_i\) 也在 \([0,1]\) 间等概率随机。我们可以直接忽略 \(b_i\) 相同的情况。这样就可以把 \(b\) 看成一个排列。
可以发现，\(c_i>c_{i-1}\) 当且仅当 \(b_i<b_{i-1}\)。
那么只用对于每个 \(i\) 计算有多少种 \(c_j>c_{j-1}\) 的个数为 \(i\) 的情况就好了。记这个东西为 \(A_{m,i}\)。
怎么算呢？
那么 \(\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^mA_{n,i}\) 为 \(x_1+x_2+\ldots+x_n\leq m+1(0\leq x_i\leq 1)\) 的概率
记 \(h_n(x)\) 为 \(x_1+x_2+\ldots+x_n\leq x(x_i\geq 0)\) 的概率。
那么有
\[h_1(x)=x\\
h_i(x)=\int_0^xh_{i-1}(x-z)~dz=\int_0^xh_{i-1}(z)~dz=\frac{x^i}{i!}
\]
h_i(x)=\int_0^xh_{i-1}(x-z)~dz=\int_0^xh_{i-1}(z)~dz=\frac{x^i}{i!}
\]
枚举有多少个 \(x_i>1\) 进行容斥，那么就有：
\[\begin{align}
\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^mA_{n,i}&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m+1-i)\\
\frac{1}{n!}A_{n,m}&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m+1-i)-\sum_{i=0}^{m}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m-i)\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m+1-i)+\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i-1}h_n(m+1-i)\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n+1}{i}h_n(m+1-i)\\
&=\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n+1}{i}{(m+1-i)}^n\\
A_{n,m}&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n+1}{i}{(m+1-i)}^n
\end{align}
\]
\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^mA_{n,i}&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m+1-i)\\
\frac{1}{n!}A_{n,m}&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m+1-i)-\sum_{i=0}^{m}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m-i)\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i}h_n(m+1-i)+\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n}{i-1}h_n(m+1-i)\\
&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n+1}{i}h_n(m+1-i)\\
&=\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n+1}{i}{(m+1-i)}^n\\
A_{n,m}&=\sum_{i=0}^{m+1}{(-1)}^i\binom{n+1}{i}{(m+1-i)}^n
\end{align}
\]
这样就可以在 \(O(m\log m)\) 内计算出 \(A_{m,0}\ldots A_{m,m}\) 了。
时间复杂度：\(O(m\log m)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=1200000;
const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
namespace ntt
{
const int W=1048576;
int rev[N];
ll w[N];
void init()
{
ll s=fp(3,(p-1)/W);
w[0]=1;
for(int i=1;i<W/2;i++)
w[i]=w[i-1]*s%p;
}
void ntt(ll *a,int n,int t)
{
for(int i=1;i<n;i++)
{
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
if(rev[i]>i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
}
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=0;k<i/2;k++)
{
ll u=a[j+k];
ll v=a[j+k+i/2]*w[W/i*k];
a[j+k]=(u+v)%p;
a[j+k+i/2]=(u-v)%p;
}
if(t==-1)
{
reverse(a+1,a+n);
ll inv=fp(n,p-2);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*inv%p;
}
}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l)
{
static ll a1[N],a2[N];
int k=1;
while(k<=n+m)
k<<=1;
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a2[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
a1[i]=a[i];
for(int i=0;i<=m;i++)
a2[i]=b[i];
ntt::ntt(a1,k,1);
ntt::ntt(a2,k,1);
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
ntt::ntt(a1,k,-1);
for(int i=0;i<=l;i++)
c[i]=a1[i];
}
}
ll inv[N],fac[N],ifac[N];
int n,m,k;
ll f[N];
ll a[N],b[N],c[N];
ll binom(int x,int y)
{
return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
int main()
{
open("b");
ntt::init();
inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<=500010;i++)
{
inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
}
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=0;i<=m+1;i++)
{
a[i]=(i&1?-1:1)*ifac[i]%p*ifac[m+1-i]%p;
b[i]=fp(i,m);
}
ntt::mul(a,b,c,m+1,m+1,m+1);
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=c[i+1]*fac[m+1]%p;
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=f[i]*ifac[m]%p;
for(int i=m-1;i>=0;i--)
f[i]=(f[i]+f[i+1])%p;
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=fp(f[i],n)%p;
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=(f[i]-f[i+1])%p;
ll ans=0;
for(int i=0;i<m;i++)
ans=(ans+fp(i,k)*f[i])%p;
ans=(ans%p+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=1200000;
const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
namespace ntt
{
const int W=1048576;
int rev[N];
ll w[N];
void init()
{
ll s=fp(3,(p-1)/W);
w[0]=1;
for(int i=1;i<W/2;i++)
w[i]=w[i-1]*s%p;
}
void ntt(ll *a,int n,int t)
{
for(int i=1;i<n;i++)
{
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
if(rev[i]>i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
}
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=0;k<i/2;k++)
{
ll u=a[j+k];
ll v=a[j+k+i/2]*w[W/i*k];
a[j+k]=(u+v)%p;
a[j+k+i/2]=(u-v)%p;
}
if(t==-1)
{
reverse(a+1,a+n);
ll inv=fp(n,p-2);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*inv%p;
}
}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l)
{
static ll a1[N],a2[N];
int k=1;
while(k<=n+m)
k<<=1;
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a2[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
a1[i]=a[i];
for(int i=0;i<=m;i++)
a2[i]=b[i];
ntt::ntt(a1,k,1);
ntt::ntt(a2,k,1);
for(int i=0;i<k;i++)
a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
ntt::ntt(a1,k,-1);
for(int i=0;i<=l;i++)
c[i]=a1[i];
}
}
ll inv[N],fac[N],ifac[N];
int n,m,k;
ll f[N];
ll a[N],b[N],c[N];
ll binom(int x,int y)
{
return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
int main()
{
open("b");
ntt::init();
inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<=500010;i++)
{
inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
}
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=0;i<=m+1;i++)
{
a[i]=(i&1?-1:1)*ifac[i]%p*ifac[m+1-i]%p;
b[i]=fp(i,m);
}
ntt::mul(a,b,c,m+1,m+1,m+1);
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=c[i+1]*fac[m+1]%p;
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=f[i]*ifac[m]%p;
for(int i=m-1;i>=0;i--)
f[i]=(f[i]+f[i+1])%p;
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=fp(f[i],n)%p;
for(int i=0;i<m;i++)
f[i]=(f[i]-f[i+1])%p;
ll ans=0;
for(int i=0;i<m;i++)
ans=(ans+fp(i,k)*f[i])%p;
ans=(ans%p+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
