正文
[HNOI2016]最小公倍数 （可回退并查集，回滚莫队）
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题目描述
给定一张
N
N
N 个顶点
M
M
M 条边的无向图(顶点编号为
1
,
2
,
…
,
n
1,2,\ldots,n
1,2,…,n)，每条边上带有权值。所有权值都可以分解成
2
a
×
3
b
2^a\times 3^b
2a×3b 的形式。
现在有
q
q
q 个询问，每次询问给定四个参数
u
,
v
,
a
u,v,a
u,v,a 和
b
b
b，请你求出是否存在一条顶点
u
u
u 到
v
v
v 之间的路径，使得路径依次经过的边上的权值的最小公倍数为
2
a
×
3
b
2^a\times 3^b
2a×3b。
注意：路径可以不是简单路径。
下面是一些可能有用的定义，如果与其它地方定义不同，在本题中以下面的定义为准：
路径：顶点序列
P
:
P
1
,
P
2
,
…
,
P
k
P \colon P_1,P_2,\ldots,P_k
P:P1,P2,…,Pk 是一条路径，当且仅当
k
≥
2
k \geq 2
k≥2，且对于任意
1
≤
i
<
k
1 \leq i < k
1≤i<k ，节点
P
i
P_i
Pi 和
P
i
+
1
P_{i+1}
Pi+1 之间都有边相连。
输入格式
输入文件的第一行包含两个整数
N
N
N 和
M
M
M，分别代表图的顶点数和边数。
接下来
M
M
M 行，每行包含四个整数
u
,
v
,
a
,
b
u,v,a,b
u,v,a,b 代表一条顶点
u
u
u 和
v
v
v 之间、权值为
2
a
×
3
b
2^a\times 3^b
2a×3b 的边。
接下来一行包含一个整数
q
q
q，代表询问数。
接下来
q
q
q 行，每行包含四个整数
u
,
v
,
a
u,v,a
u,v,a 和
b
b
b，代表一次询问。询问内容请参见问题描述。
输出格式
对于每次询问，如果存在满足条件的路径，则输出一行
Yes
，否则输出一行
No
（注意：第一个字母大写，其余字母小写）。
输入输出样例
输入 #1
4 5
1 2 1 3
1 3 1 2
1 4 2 1
2 4 3 2
3 4 2 2
5
1 4 3 3
4 2 2 3
1 3 2 2
2 3 2 2
1 3 4 4
输出 #1
Yes
Yes
Yes
No
No
说明/提示
1
≤
n
,
q
≤
5
×
1
0
4
1\le n,q\le 5\times 10^4
1≤n,q≤5×104，
1
≤
m
≤
1
0
5
1\leq m\leq 10^5
1≤m≤105，
0
≤
a
,
b
≤
1
0
9
0\leq a,b\leq 10^9
0≤a,b≤109。
题解
我们可以用这种办法判断是否满足条件：把权值为目标
l
c
m
\rm lcm
lcm 的因数——即边的
a
,
b
a,b
a,b 同时小于目标的
a
,
b
a,b
a,b——的边，保留下来。此时如果
u
u
u 和
v
v
v 在一个连通块内，同时该连通块所有边的
l
c
m
\rm lcm
lcm 等于目标
l
c
m
\rm lcm
lcm ，那么就存在满足条件的路径。路径可以不是简单路径，所以，只要是在同一连通块的边都可以走一次。既然是维护连通块，不妨用 并查集 。
那么，首先把
a
a
a 和
b
b
b 离散化，因为有价值的仅仅是他们的相对大小关系。
然后， 回滚莫队 ！
我们把询问按照
a
a
a 分块，每个块内按照
b
b
b 从小到大排序。处理每个块的时候，并查集初始化，一条扫描线扫
b
b
b 端点。我们维护当前扫到的
b
b
b 的大小
R
R
R ，
R
R
R 初始为 0 。当
R
<
b
i
R<b_i
R<bi 的时候，
R++
，然后把
b
=
R
,
a
≤
块
的
左
端
b=R,a\leq 块的左端
b=R,a≤块的左端 的边加进并查集，当
R
R
R 达到
b
i
b_i
bi 时，记录此时并查集的状态。接着处理
a
a
a 端点，把
a
∈
(
块
的
左
端
,
a
i
]
,
b
≤
b
i
a\in (块的左端,a_i],b\leq b_i
a∈(块的左端,ai],b≤bi 的边加进并查集，查询该询问是否有解。最后把并查集退回到之前记录的状态，保留
R
R
R ，计算块内的下一个询问。
令块大小为
S
S
S ，那么时间应该是
q
×
S
×
α
(
n
)
+
M
S
×
M
×
α
(
n
)
≥
(
2
×
)
M
α
(
n
)
q
q\times S\times\alpha(n)+\frac{M}{S}\times M\times\alpha(n)\geq(2\times)M\alpha(n)\sqrt{q}
q×S×α(n)+SM×M×α(n)≥(2×)Mα(n)q
，当且仅当
S
=
M
2
q
S=\sqrt{\frac{M^2}{q}}
S=qM2
时取最小，最大数据下
S
S
S 可取
447
447
447 。
关于按
a
a
a 分块，有一个难点。那就是，当大量的边都有着同样的
a
a
a 抱团的时候，我们又不得不把所有的相同值的边都考虑，于是，直接按
a
a
a 的值 分块，无疑会慢到极致。但是，我们会发现，设块的左端点为
l
i
l_i
li ，所有
a
=
l
i
a=l_i
a=li 的边只会被添加一次，是在扩展
R
R
R 的时候被添加的。所以，我们把边的数量
≥
S
\geq S
≥S 的
a
a
a 值单独算一个 块 ，就可以避免这个问题。
时间复杂度
O
(
M
α
(
n
)
q
)
\rm O(M\alpha_{^{(n)}}\sqrt{q})
O(Mα(n)q
) ，跑上几百毫秒是可以的。
CODE
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 400005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define SQ 447
LL read() {
LL f=1,x=0;char s = getchar();
while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
return f*x;
}
void putpos(LL x) {
if(!x) return ;
putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
if(!x) putchar('0');
else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
else putpos(x);
}
int n,m,s,o,k,Q;
int U[MAXN],V[MAXN],w2[MAXN],w3[MAXN];
int b1[MAXN],b2[MAXN],cn1,cn2,nm1,nm2;
map<int,int> mp1,mp2;
vector<int> bu[MAXN],rq[MAXN];
int bl[MAXN],br[MAXN],belong[MAXN],cnt;
struct it{
int u,v,l,r,id;it(){u=v=l=r=id=0;}
it(int U,int V,int A,int B,int I){u=U;v=V;l=A;r=B;id=I;}
it(int U,int ma,int mb){u=U;l=ma;r=mb;v=0;id=0;}
}q[MAXN];
vector<it> B[MAXN];
int cnq;
bool as[MAXN];
bool cmp(it a,it b) {
return a.r < b.r;
}
bool F_st;
stack<it> st;
int fa[MAXN],siz[MAXN],mx1[MAXN],mx2[MAXN];
int findf(int x) {return x==fa[x] ? x:(findf(fa[x]));}
void unionSet(int a,int b,int m2,int m3) {
int u = findf(a),v = findf(b);
if(siz[u] > siz[v]) swap(u,v),swap(a,b);
if(u == v) {
if(F_st)st.push(it(u,mx1[u],mx2[u]));
mx1[u] = max(mx1[u],m2);
mx2[u] = max(mx2[u],m3);
}
else {
if(F_st)st.push(it(u,mx1[v],mx2[v]));
siz[v] += siz[u]; fa[u] = v;
mx1[v] = max(mx1[v],max(mx1[u],m2));
mx2[v] = max(mx2[v],max(mx2[u],m3));
}return ;
}
void Back(it t) {
int u = t.u;
if(fa[u] == u) {
mx1[u] = t.l; mx2[u] = t.r;
}
else {
int v = fa[u];
mx1[v] = t.l; mx2[v] = t.r;
siz[v] -= siz[u]; fa[u] = u;
}return ;
}
void adda(int ad,int rr) {
for(int i = 0;i < (int)bu[ad].size();i ++) {
int x = bu[ad][i];
if(w3[x] <= rr) {
unionSet(U[x],V[x],w2[x],w3[x]);
}
}return ;
}
void addb(int ad,int rr) {
for(int i = 0;i < (int)rq[ad].size();i ++) {
int x = rq[ad][i];
if(w2[x] <= rr) {
unionSet(U[x],V[x],w2[x],w3[x]);
}
}return ;
}
void query(int x,int y,int &aa,int &bb) {
aa = 0; bb = 0;
if(findf(x) != findf(y)) return ;
int v = findf(x);
aa = mx1[v]; bb = mx2[v];
return ;
}
int main() {
// freopen("lcm.in","r",stdin);
// freopen("lcm.out","w",stdout);
n = read();m = read();
for(int i = 1;i <= m;i ++) {
U[i] = read();
V[i] = read();
w2[i] = read();
w3[i] = read();
b1[++ cn1] = w2[i];
b2[++ cn2] = w3[i];
}
sort(b1 + 1,b1 + 1 + m);
sort(b2 + 1,b2 + 1 + m);
for(int i = 1;i <= m;i ++) {
if(i == 1 || b1[i] > b1[i-1]) mp1[b1[i]] = ++ nm1;
if(i == 1 || b2[i] > b2[i-1]) mp2[b2[i]] = ++ nm2;
}
for(int i = 1;i <= m;i ++) {
w2[i] = mp1[w2[i]]; w3[i] = mp2[w3[i]];
bu[w2[i]].push_back(i);
rq[w3[i]].push_back(i);
}
int ct = 0,prl = 0;
for(int i = 1;i <= nm1;i ++) {
ct += bu[i].size();
belong[i] = cnt + 1;
if(ct >= SQ || i == nm1 || (int)bu[i+1].size() >= SQ) {
cnt ++;
bl[cnt] = prl + 1;
prl = br[cnt] = i;
ct = 0;
}
}
Q = read();
for(int i = 1;i <= Q;i ++) {
s = read();o = read();
int aa = mp1[read()],bb = mp2[read()];
if(aa && bb) {
it t = it(s,o,aa,bb,i);
q[++ cnq] = t;
B[belong[t.l]].push_back(t);
}
}
for(int i = 1;i <= cnt;i ++) {
sort(B[i].begin(),B[i].end(),cmp);
for(int j = 1;j <= n;j ++) {
fa[j] = j; siz[j] = 1;
mx1[j] = 0; mx2[j] = 0;
}
while(!st.empty()) st.pop();
int R = 0;
for(int j = 0;j < (int)B[i].size();j ++) {
it x = B[i][j];
while(R < x.r) addb(++ R,bl[i]);
int L = bl[i];
F_st = 1;
while(L < x.l) adda(++ L,x.r);
F_st = 0;
int sa,sb; query(x.u,x.v,sa,sb);
as[x.id] = (sa == x.l && sb == x.r);
while(!st.empty()) {
it t = st.top();st.pop();
Back(t);
}
}
}
for(int i = 1;i <= Q;i ++) {
printf(as[i] ? "Yes\n":"No\n");
}
return 0;
}
/*
q*S*log + M/S*M*log >= 2*sqrt{q}*M*log
q*S = M/S*M => S = sqrt(M*M/q) = sqrt(2e5) = 447
*/
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 400005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define SQ 447
LL read() {
LL f=1,x=0;char s = getchar();
while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
return f*x;
}
void putpos(LL x) {
if(!x) return ;
putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
if(!x) putchar('0');
else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
else putpos(x);
}
int n,m,s,o,k,Q;
int U[MAXN],V[MAXN],w2[MAXN],w3[MAXN];
int b1[MAXN],b2[MAXN],cn1,cn2,nm1,nm2;
map<int,int> mp1,mp2;
vector<int> bu[MAXN],rq[MAXN];
int bl[MAXN],br[MAXN],belong[MAXN],cnt;
struct it{
int u,v,l,r,id;it(){u=v=l=r=id=0;}
it(int U,int V,int A,int B,int I){u=U;v=V;l=A;r=B;id=I;}
it(int U,int ma,int mb){u=U;l=ma;r=mb;v=0;id=0;}
}q[MAXN];
vector<it> B[MAXN];
int cnq;
bool as[MAXN];
bool cmp(it a,it b) {
return a.r < b.r;
}
bool F_st;
stack<it> st;
int fa[MAXN],siz[MAXN],mx1[MAXN],mx2[MAXN];
int findf(int x) {return x==fa[x] ? x:(findf(fa[x]));}
void unionSet(int a,int b,int m2,int m3) {
int u = findf(a),v = findf(b);
if(siz[u] > siz[v]) swap(u,v),swap(a,b);
if(u == v) {
if(F_st)st.push(it(u,mx1[u],mx2[u]));
mx1[u] = max(mx1[u],m2);
mx2[u] = max(mx2[u],m3);
}
else {
if(F_st)st.push(it(u,mx1[v],mx2[v]));
siz[v] += siz[u]; fa[u] = v;
mx1[v] = max(mx1[v],max(mx1[u],m2));
mx2[v] = max(mx2[v],max(mx2[u],m3));
}return ;
}
void Back(it t) {
int u = t.u;
if(fa[u] == u) {
mx1[u] = t.l; mx2[u] = t.r;
}
else {
int v = fa[u];
mx1[v] = t.l; mx2[v] = t.r;
siz[v] -= siz[u]; fa[u] = u;
}return ;
}
void adda(int ad,int rr) {
for(int i = 0;i < (int)bu[ad].size();i ++) {
int x = bu[ad][i];
if(w3[x] <= rr) {
unionSet(U[x],V[x],w2[x],w3[x]);
}
}return ;
}
void addb(int ad,int rr) {
for(int i = 0;i < (int)rq[ad].size();i ++) {
int x = rq[ad][i];
if(w2[x] <= rr) {
unionSet(U[x],V[x],w2[x],w3[x]);
}
}return ;
}
void query(int x,int y,int &aa,int &bb) {
aa = 0; bb = 0;
if(findf(x) != findf(y)) return ;
int v = findf(x);
aa = mx1[v]; bb = mx2[v];
return ;
}
int main() {
// freopen("lcm.in","r",stdin);
// freopen("lcm.out","w",stdout);
n = read();m = read();
for(int i = 1;i <= m;i ++) {
U[i] = read();
V[i] = read();
w2[i] = read();
w3[i] = read();
b1[++ cn1] = w2[i];
b2[++ cn2] = w3[i];
}
sort(b1 + 1,b1 + 1 + m);
sort(b2 + 1,b2 + 1 + m);
for(int i = 1;i <= m;i ++) {
if(i == 1 || b1[i] > b1[i-1]) mp1[b1[i]] = ++ nm1;
if(i == 1 || b2[i] > b2[i-1]) mp2[b2[i]] = ++ nm2;
}
for(int i = 1;i <= m;i ++) {
w2[i] = mp1[w2[i]]; w3[i] = mp2[w3[i]];
bu[w2[i]].push_back(i);
rq[w3[i]].push_back(i);
}
int ct = 0,prl = 0;
for(int i = 1;i <= nm1;i ++) {
ct += bu[i].size();
belong[i] = cnt + 1;
if(ct >= SQ || i == nm1 || (int)bu[i+1].size() >= SQ) {
cnt ++;
bl[cnt] = prl + 1;
prl = br[cnt] = i;
ct = 0;
}
}
Q = read();
for(int i = 1;i <= Q;i ++) {
s = read();o = read();
int aa = mp1[read()],bb = mp2[read()];
if(aa && bb) {
it t = it(s,o,aa,bb,i);
q[++ cnq] = t;
B[belong[t.l]].push_back(t);
}
}
for(int i = 1;i <= cnt;i ++) {
sort(B[i].begin(),B[i].end(),cmp);
for(int j = 1;j <= n;j ++) {
fa[j] = j; siz[j] = 1;
mx1[j] = 0; mx2[j] = 0;
}
while(!st.empty()) st.pop();
int R = 0;
for(int j = 0;j < (int)B[i].size();j ++) {
it x = B[i][j];
while(R < x.r) addb(++ R,bl[i]);
int L = bl[i];
F_st = 1;
while(L < x.l) adda(++ L,x.r);
F_st = 0;
int sa,sb; query(x.u,x.v,sa,sb);
as[x.id] = (sa == x.l && sb == x.r);
while(!st.empty()) {
it t = st.top();st.pop();
Back(t);
}
}
}
for(int i = 1;i <= Q;i ++) {
printf(as[i] ? "Yes\n":"No\n");
}
return 0;
}
/*
q*S*log + M/S*M*log >= 2*sqrt{q}*M*log
q*S = M/S*M => S = sqrt(M*M/q) = sqrt(2e5) = 447
*/
