Direct and Indirect Effects

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概
主要内容
- CDE
- NDE
- NIE
- TDE, TIE, PDE, PIE

Judea Pearl. Direct and indirect effects. In Proceedings of the 17th conference on uncertainty in artificial intelligence. Morgan Kaufmann Publishers Inc., 2001.

概

CDE: Controlled Direct Effect;

NDE: Natural Direct Effect;

NIE: Natural Indirect Effect.

TDE: Total Direct Effect;

TIE: Total Indirect Effect;

PDE: Pure Direct Effect;

PIE: Pure Indirect Effect.

主要内容
graph LR
X(X) -->Z(Z) --> Y(Y)
X --> Y

设想, 药物\(X\)的影响通过俩种途径:

直接对身体产生的影响;
服用药物\(X\)会导致头疼, 故患者大概率会服用镇痛剂, 镇痛剂会利于(或者不利于)恢复.

如果我们直接计算causal effect, 则二者都会纳入其中, 但是往往我们所关心的只是单纯的\(X \rightarrow Y\)这一部分, 也即direct effect, 那么如何计算呢?

CDE

average CDE的计算是:

\[\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=z)]
-\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=z)],
\]

之所以被称之为controlled direct effect, 是因为我们认为的限定\(Z=z\).

用上面的例子来说就是, 我们限定所有人服用的镇定剂为\(z\).

NDE

average NDE的计算是:

\[\mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=Z_{x*})]
-\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)],
\]

相当于, 一个人服用了药物\(x\), 但是我们骗他说服用了药物\(x^*\), 导致其服用镇定剂的量是本应该服用药物\(x^*\)后的量.

不同于CDE, NDE的计算要略微复杂一点:

需要满足:

\[Y_{xz} \amalg Z_{x^*} | W,
\]

这里\(W\)是confounder.

此时:

\[NDE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}[\mathbb{E}[Y_{x,z}|w] - \mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w]]P(Z_{x^*}=z|w)P(w).
\]

NIE

有些时候我们想要的是支线\(X \rightarrow Z \rightarrow Y\), 此时我们需要计算NIE:

average NIE的计算是

\[\mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=Z_{x})]
-\mathbb{E}[Y|do(X=x^*)].
\]

类似的解释.

满足

\[Y_{x^*, z} \amalg Z_x | W,
\]

可以得到

\[NIE(x, x^*, Y) = \sum_{w, z}\mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w][P(Z_{x}=z|w) - P(Z_{x^*}=z|w)]P(w).
\]

TDE, TIE, PDE, PIE

可以发现:

\[\begin{array}{rl}
\mathbb{E}[Y_{x}]
- \mathbb{E}[Y_{x^*}]
&=\mathbb{E}[Y_{xz}]
-\mathbb{E}[Y_{x^*z^*}] \\
&=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xz}]-\mathbb{E}[Y_{xz^*}])}_{TIE} +
\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xz^*}]-\mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PDE}\\
&=\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{xz}]-\mathbb{E}[Y_{x^*z}]])}_{TDE} +
\underbrace{(\mathbb{E}[Y_{x^*z}]-\mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PIE}.
\end{array}
\]