Morse理论：拓扑不变性特征匹配原理

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Mo^’ersi lilun
莫尔斯理论(卷名：数学)

Morse theory

微分拓扑的一个重要分支。通常是指两部分内容：一部分是微分流形上可微函数的莫尔斯理论，即临界点理论；另一部分是变分问题的莫尔斯理论，即大范围变分法。确切地说，假设ƒ是n维微分流形M上的实值可微函数，ƒ的临界点p是指梯度向量场gradƒ的零点，即在局部坐标下使得的点。ƒ的全部临界点的性态与流形M本身的拓扑结构有密切的关系，探索这些关系就是临界点理论的主要任务。例如，著名的莫尔斯不等式就是这样一种关系：

，
                ……

，
                ……

，

)的秩，M_k是M上非退化函数ƒ的指数为k的临界点的个数。这里说ƒ是非退化函数，是指ƒ的任何临界点p均非退化，即在局部坐标下ƒ在p处的黑塞矩阵  
之秩为世纪20年代建立的基本结果，后来有了远为一般的结果。

 

，1，2，因为可以适当选择局部坐标，使得在(旋转抛物面)。命不难看出，当α由小变大经过各个临界值时，M^α的同伦型发生表中所列的变化。
可见，当α从小变大经过指数为λ的临界点时，M^α的同伦型变化相当于粘上一个λ维胞腔，从而整个环面M的同伦型相当于由一个
0维胞腔、两个一维胞腔以及一个二维胞腔组成的CW复形，这样就把M的同伦型与ƒ 的临界点的性态联系起来了。如果把这个事实推广到一般情形就是：
临界点理论的基本定理 命M是微分流形，ƒ:M→B是非退化函数，并且任何M^α都是紧致集。于是，每个M^α都具有一个有限CW复形的同伦型，从而整个M具有一个至多是可数的CW复形的同伦型：对于指数为λ的每个临界点，这个复形有一个λ维胞腔。
临界点理论的应用中最完美的是对测地线问题的应用，这就是变分学的莫尔斯理论。例如，考虑完备黎曼流形M上两个固定端点p和q之间的测地线问题，即是使弧长为极小的变分问题：

式中ω:[0，1]→M 表示M上的逐段光滑道路，ω(0)=p，ω(1)=q；这个变分问题的泛极线就是所谓测地线。于是，从p 到q 的所有光滑测地线的性态与流形M的拓扑结构之间是否有什么关系，这就是大范围变分学要研究的主要问题，可以应用临界点理论的框架得到相似的结果。命Ω=Ω (M；p，q)表示M上从p到q所有逐段光滑道路组成的空间，具有尺度拓扑。

式中ρ
表示M上由黎曼尺度导出的距离函数；表示ω 上的弧长。
大范围变分学基本定理 命M是完备黎曼流形，p，q∈M沿任何测地线不共轭，则Ω(M；p，q)具有可数CW复形的同伦型：对于从p到q每条指数为λ的测地线，这个复形有一个λ维胞腔。
随着拓扑学的发展，莫尔斯理论本身也有很大的飞跃。例如，由于临界点定义为梯度向量场gradƒ 的零点，自然可以考虑n维闭流形M上一般向量场X 的零点与M的拓扑结构之间的关系，即M上的动力系统

～1981。(J.
Milnor，Morse Theory，Ann. Math. Studies，Princeton
Univ. Press，Princeton，1963.)。(H.Seifert
und W.Threlfall，variationsrechnung im Grossen，Chelsea Pub.Co.，1948.)
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江嘉禾