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简单易学的机器学习算法——EM算法

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简单易学的机器学习算法——EM算法

一、机器学习中的参数估计问题

在前面的博文中，如“简单易学的机器学习算法——Logistic回归”中，采用了极大似然函数对其模型中的参数进行估计，简单来讲即对于一系列样本，Logistic回归问题属于监督型学习问题，样本中含有训练的特征以及标签，在Logistic回归的参数求解中，通过构造样本属于类别和类别的概率：

这样便能得到Logistic回归的属于不同类别的概率函数：

此时，使用极大似然估计便能够估计出模型中的参数。但是，如果此时的标签是未知的，称为隐变量，如无监督的学习问题，典型的如K-Means聚类算法，此时不能直接通过极大似然估计估计出模型中的参数。

二、EM算法简介

在上述存在隐变量的问题中，不能直接通过极大似然估计求出模型中的参数，EM算法是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。EM算法是期望极大(Expectation Maximization)算法的简称，EM算法是一种迭代型的算法，在每一次的迭代过程中，主要分为两步：即求期望(Expectation)步骤和最大化(Maximization)步骤。

三、EM算法推导的准备

1、凸函数

设是定义在实数域上的函数，如果对于任意的实数，都有

那么是凸函数。若不是单个实数，而是由实数组成的向量，此时，如果函数的Hesse矩阵是半正定的，即

那么是凸函数。特别地，如果或者，那么称为严格凸函数。

2、Jensen不等式

如果函数是凸函数，是随机变量，那么

特别地，如果函数是严格凸函数，那么当且仅当

即随机变量是常量。

(图片来自参考文章1)

注：若函数是凹函数，上述的符号相反。

3、数学期望

3.1随机变量的期望

设离散型随机变量的概率分布为：

其中，，如果绝对收敛，则称为的数学期望，记为，即：

若连续型随机变量的概率密度函数为，则数学期望为：

3.2随机变量函数的数学期望

设是随机变量的函数，即，若是离散型随机变量，概率分布为：

则：

若是连续型随机变量，概率密度函数为，则

四、EM算法的求解过程

    假设表示观测变量，表示潜变量，则此时即为完全数据，的似然函数为，其中，为需要估计的参数，那么对于完全数据，的似然函数为。
    构建好似然函数，对于给定的观测数据，为了估计参数，我们可以使用极大似然估计的方法对其进行估计。因为变量是未知的，我们只能对的似然函数为进行极大似然估计，即需要极大化：
上述式子中无法直接对求极大值，因为在函数中存在隐变量，即未知变量。若此时，我们能够确定隐变量的值，便能够求出的极大值，可以用过不断的修改隐变量的值，得到新的的极大值。这便是EM算法的思路。通过迭代的方式求出参数。
    首先我们需要对参数赋初值，进行迭代运算，假设第次迭代后参数的值为，此时的log似然函数为，即：
在上式中，第二行到第三行使用到了Jensen不等式，由于log函数是凹函数，由Jensen不等式得到：
 
 
而
表示的是的期望，其中，表示的是隐变量满足的某种分布。这样，上式的值取决于和的概率。在迭代的过程中，调整这两个概率，使得下界不断的上升，这样就能求得的极大值。注意，当等式成立时，说明此时已经等价于。由Jensen不等式可知，等式成立的条件是随机变量是常数，即：
已知：
所以：
则：
至此，我们得出了隐变量满足的分布的形式。这就是EM算法中的E步。在确定了后，调整参数使得取得极大，这便是M步。EM算法的步骤为：
  1. 初始化参数，开始迭代；
  2. E步：假设为第次迭代参数的估计值，则在第次迭代中，计算：
  3. M步：求使极大化的，确定第次的参数的估计值：

五、EM算法的收敛性保证

迭代的过程能否保证最后找到的就是最大的似然函数值呢？即需要证明在整个迭代的过程中，极大似然估计是单调增加的。假定和是EM算法的第次和第次迭代后的结果，选定，进行迭代：
  1. E步：
  2. M步：

固定，将看成变量：

上式中，第一个大于等于是因为：

六、利用EM算法参数求解实例

假设有有一批数据分别是由两个正态分布：

产生，其中，和未知，。但是不知道具体的是第产生，即可以使用和表示。这是一个典型的涉及到隐藏变量的例子，隐藏变量为和。可以使用EM算法对参数进行估计。

  1. 首先是初始化和；
  2. E步：，即求数据是由第个分布产生的概率：
  3. M步：，即计算最大的期望值。然而我们要求的参数是均值，可以通过如下的方式估计：

Python代码

  1. #coding:UTF-8
  2. '''''
  3. Created on 2015年6月7日
  4. @author: zhaozhiyong
  5. '''
  6. from __future__ import division
  7. from numpy import *
  8. import math as mt
  9. #首先生成一些用于测试的样本
  10. #指定两个高斯分布的参数，这两个高斯分布的方差相同
  11. sigma = 6
  12. miu_1 = 40
  13. miu_2 = 20
  14. #随机均匀选择两个高斯分布，用于生成样本值
  15. N = 1000
  16. X = zeros((1, N))
  17. for i in xrange(N):
  18. if random.random() > 0.5:#使用的是numpy模块中的random
  19. X[0, i] = random.randn() * sigma + miu_1
  20. else:
  21. X[0, i] = random.randn() * sigma + miu_2
  22. #上述步骤已经生成样本
  23. #对生成的样本，使用EM算法计算其均值miu
  24. #取miu的初始值
  25. k = 2
  26. miu = random.random((1, k))
  27. #miu = mat([40.0, 20.0])
  28. Expectations = zeros((N, k))
  29. for step in xrange(1000):#设置迭代次数
  30. #步骤1，计算期望
  31. for i in xrange(N):
  32. #计算分母
  33. denominator = 0
  34. for j in xrange(k):
  35. denominator = denominator + mt.exp(-1 / (2 * sigma ** 2) * (X[0, i] - miu[0, j]) ** 2)
  36. #计算分子
  37. for j in xrange(k):
  38. numerator = mt.exp(-1 / (2 * sigma ** 2) * (X[0, i] - miu[0, j]) ** 2)
  39. Expectations[i, j] = numerator / denominator
  40. #步骤2，求期望的最大
  41. #oldMiu = miu
  42. oldMiu = zeros((1, k))
  43. for j in xrange(k):
  44. oldMiu[0, j] = miu[0, j]
  45. numerator = 0
  46. denominator = 0
  47. for i in xrange(N):
  48. numerator = numerator + Expectations[i, j] * X[0, i]
  49. denominator = denominator + Expectations[i, j]
  50. miu[0, j] = numerator / denominator
  51. #判断是否满足要求
  52. epsilon = 0.0001
  53. if sum(abs(miu - oldMiu)) < epsilon:
  54. break
  55. print step
  56. print miu
  57. print miu

最终结果

[[ 40.49487592  19.96497512]]

参考文章：

1、(EM算法)The EM Algorithm (http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html)

2、数学期望(http://wenku.baidu.com/view/915a9c1ec5da50e2524d7f08.html?re=view)