算法复杂度O(logn)详解

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一.O(logn)代码小证明

我们先来看下面一段代码:

int cnt = 1;while (cnt < n)
{
cnt *= 2;
//时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
}


由于cnt每次在乘以2之后都会更加逼近n，也就是说，在有x次后，cnt将会大于n从而跳出循环，所以\(2 ^ x = n\), 也就是\(x = log_2n\)，所以这个循环的复杂度为O(logn)

二.典型时间复杂度

$c$ 常数
$logN$ 对数级
$log ^ 2N$ 对数平方根
$N$ 线性级
$NlogN$
$N ^ 2$ 平方级
$N ^ 3$ 立方级
$2 ^ N$ 指数级


由此我们可以得知，\(logN\)的算法效率是最高的

三.常见的\(logN\)算法

1.对分查找

- (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element
{
int low, mid, high;
low = 0; high = (int)originArray.count - 1;
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2;
if ([originArray[mid] intValue] < element) {
low = mid + 1;
} else if ([originArray[mid] intValue] > element) {
high = mid -1;
} else {
return mid;
}
} return -1;
}


2. 欧几里得算法

- (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n
{
unsigned int Rem;
while (n > 0) {
Rem = m % n;
m = n;
n = Rem;
}
return m;
}


3.幂运算

- (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n
{
if (n == 0) {
return 1;
}
if (n == 1) {
return x;
} if ([self isEven:n]) {
return [self Pow:x * x n:n / 2];
} else {
return [self Pow:x * x n:n / 2] * x;
}
}- (BOOL)isEven:(unsigned int)n
{
if (n % 2 == 0) {
return YES;
} else {
return NO;
}
}


四.$$库里的log函数

在$$库里有log()函数和log2()函数

log()函数的底数默认为自然对数的底数e

log2()函数的底数很显然就是2咯qwq

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;
//#define DEBUG(x) cerr << #x << "=" << x << endlint main()
{
cout << log(M_E) << endl;
cout << log2(2) << endl;
return 0;
}


然后我们就会得到

1
1


的结果