最小生成树------Kruskal算法

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Kruskal最小生成树算法的概略描述：
1 T=Φ；
2 while(T的边少于n-1条) {
3 从E中选取一条最小成本的边(v,w)；
4 从E中删去(v,w)；
5 if((v,w)在T中不生成环) {
6 将(v,w)加到T中；
7 else{舍弃(v,w)；}
8 }；//if
9 }//for

为了有效地执行第5和第6步，G中的结点的组合方式应该是易于确定结点v和w是否已由早先选择的边所连通的那种。在已连通的情况下，则将边(v,w)舍弃；若不连通，则把(v,w) 加人到T。一种可能的组合方法是把T的同一连通分图中所有结点放到一个集合中(T的各个连通分图都是树)。那么，T中的两个结点是连通的，当且仅当它们在同一个集合中。例如，当要考虑边(2,6)时，这些集合就是｛l,2｝，｛3,4,6｝和｛5｝。结点2和6在不同的集合中，因此这些集合被合并成为{1,2,3,4,6}和｛5｝。要考虑的下一条边是(1,4)。由于结点1和4在同一个集合中，因此该边被舍弃，边(3,5)连结不同集合中的结点，并且产生最终的生成树。使用集合表示和Union和Find算法，可以在几乎是线性的时间内有效地实现第5和第6行。因此，计算时间由第3行和第4行的时间所确定，在最坏情况下第3和第4行的计算时间是О(eloge)。

举个例子：

Kruskal算法
line void Kruskal (E,COST[],n,T,minCOST) {
//G有n个结点，E是G的边集。COST(u,v)是边(u,v)的成本。
//T是最小成本生成树的边集，minCOST是它的成本

l float minCOST，COST[n][n]；
int Parent[n]，T[n-][]，n
以边成本为元素构造一个min一堆； Parent=l； //每个结点都在不同的集合中
i=minCOST= ；
while(i<n-l) and (堆非空) do
从堆中删去最小成本边(u，v).并重新构造堆
j=Find[u]；k=Find[v] ；
if(j!=k) { i=i+；
T[i,l]=u；T(i,)=v；
minCOST = minCOST + COST(u,v)；
union(j,k)
}if
}//while
if(i!=n-l) { print(’no spanning tree’)}；//if
return T；
}// Kruskal

引理设T是无向连通图G的一棵生成树。对于任一条边e∈E(G)，但不属于E(T)，有：①若将e加人到T，则生成一个唯一的环；②从E(T) ∪ {e}中去掉这环中的任意一条边后，剩余的边构成G的一棵树。