Consequence of Point-by-Point Bounds

设 $X$ 是完备距离空间, $\scrF$ 是 $X$ 上的实连续函数族且具有性质: 对于每一 $x\in X$, 存在常数 $M_x>0$, 使得对于每一 $F\in\scrF$, $$\bex |F(x)|\leq M_x. \eex$$ 证明: 存在开集 $U$ 及常数 $M>0$, 使得对于每一 $x\in U$ 及所有 $F\in \scrF$, $$\bex |F(x)|\leq M. \eex$$

证明:  对 $n\in\bbN$, 记 $$\bex K_n=\sed{x\in X;\ |F(x)|\leq n,\ \forall\ F\in \scrF}, \eex$$ 则由题意, $\dps{X=\cup_{n=1}^\infty K_n}$. 由于 $X$ 是完备度量空间, 而是第二纲集, 我们知\footnote{据 $P14$ 定理 1.3.2.} $$\bex \exists\ N,\st K_n\mbox{ 不是疏集}, \eex$$ 即 $K_N$ 在 $X$ 的某个开集中是稠密的. 由 $F$ 的连续性, $$\bex |F(x)|\leq N,\quad x\in U. \eex$$ 结论得证.