Antiprime数-数论

题目描述 Description

如果一个自然数n满足：所有小于它的自然数的约数个数都小于n的约数个数，则称n是一个Antiprime数。譬如：1、2、4、5、12、24都是Antiprime数。

输入样例：

1000
输出样例：

840

思路：

这个问题可以转化为求n以内约数最多的数，对于一个n，如果它的质因子越小，那么它能分解的因子个数也就越多，而对于有相同因子数的两个数，较小的那个更具有更新的空间，所以当两个数有相同因子数时，我们取较小一个。

根据唯一分解定理，任何一个大于1的数都可以分解为许多质数的乘积，并且根据质因数的个数可以算出约数的个数，公式为：n=P ₁ ^x +P ₂ ^y +P ₃ ^z+ P _… ^… ，这个n的约数个数为(x+1)(y+1)(z+1)(…+1)，那么这题，我们可以从1，从小到大循环，每次分解这个数为质因数，最终找到约数最多的数（约数相同取较少的，因为假如取较大的那个，因为较小的那个在前面，并且约数个数和较大的那个一样，这样就会出现较大的数不满足Antiprime数定义，所以我们取较小的数，这样前面就不会有数来和它冲突），输出即可。

但这样会超时，我们不妨做一下优化，逆用唯一分解定理，从小到大枚举每个质因数的使用个数（由数据范围限定最多枚举到23），搜索答案。

记住一定要用long long。

代码如下：

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 long long n,maxx,num[]={,,,,,,,,,,},ans;

 void findd(long long now,long long tot,long long u,long long v)//当前累计值，当前累计因数个数，上个质因数使用次数，枚举位置

 {

     if(maxx<tot||(tot==maxx&&ans>now))

     {

         maxx=tot;

         ans=now;

     }

     if(v>=) return;

     for(long long i=;i<=u;i++)

     {

         now*=num[v];

         if(now>n) return;

         findd(now,tot*(+i),i,v+);

     }

 }

 int main()

 {

     scanf("%I64d",&n);

     findd(,,,);

     printf("%I64d\n",ans);

     return ;

 }