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如何在 Java 中实现 Dijkstra 最短路算法

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定义

最短路问题的定义为：设 \(G=(V,E)\) 为连通图，图中各边 \((v_i,v_j)\) 有权 \(l_{ij}\) （\(l_{ij}=\infty\) 表示 \(v_i,v_j\) 间没有边） ，\(v_s,v_t\) 为图中任意两点，求一条道路 \(\mu\)，使得它是从 \(v_s\) 到 \(v_t\) 的所有路中总权最小的路，即：\(L(\mu)=\sum_{(v_i,v_j)\in \mu}l_{ij}\) 最小。

下图左侧是一幅带权有向图，以顶点 0 为起点到各个顶点的最短路径形成的最短路径树如下图右侧所示：

带权有向图的实现

在实现最短路算法之前需要先实现带权有向图。在上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中我们实现了带权无向图，只需一点修改就能实现带权有向图。

带权有向边

首先应该实现带权有向图中的边 DirectedEdge ，这个类有三个成员变量：指出边的顶点 v 、边指向的顶点 w 和边的权重 weight 。代码如下所示： 

package com.zhiyiyo.graph;

/**

 * 带权有向边

 */

public class DirectedEdge {

    int v, w;

    double weight;

    public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {

        this.v = v;

        this.w = w;

        this.weight = weight;

    }

    public int from() {

        return v;

    }

    public int to() {

        return w;

    }

    public double getWeight() {

        return weight;

    }

    @Override

    public String toString() {

        return String.format("%d->%d(%.2f)", v, w, weight);

    }

}

带权有向图

带权有向图的实现非常简单，只需将带权无向图使用的 Edge 类换成 DirectedEdge 类，并作出少许调整即可： 

package com.zhiyiyo.graph;

import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;

import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;

public class WeightedDigraph {

    private final int V;

    protected int E;

    protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj;

    public WeightedDigraph(int V) {

        this.V = V;

        adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V];

        for (int i = 0; i < V; i++) {

            adj[i] = new LinkStack<>();

        }

    }

    public int V() {

        return V;

    }

    public int E() {

        return E;

    }

    public void addEdge(DirectedEdge edge) {

        adj[edge.from()].push(edge);

        E++;

    }

    public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {

        return adj[v];

    }

    public Iterable<DirectedEdge> edges() {

        Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>();

        for (int v = 0; v < V; ++v) {

            for (DirectedEdge edge : adj(v)) {

                edges.push(edge);

            }

        }

        return edges;

    }

}

最短路算法

API

最短路算法应该支持起始点 \(v_s\) 到任意顶点 \(v_t\) 的最短距离和最短路径的查询： 

package com.zhiyiyo.graph;

/**

 * 最短路径

 */

public interface ShortestPath {

    /**

     * 从起点到顶点 v 的最短距离，如果顶点 v 不可达则为无穷大

     * @param v 顶点 v

     * @return 最短路径

     */

    double distTo(int v);

    /**

     * 是否存在从起点到顶点 v 的路径

     * @param v 顶点 v

     * @return 是否存在

     */

    boolean hasPathTo(int v);

    /**

     * 从起点到顶点 v 的最短路径，若不存在则返回 null

     * @param v 顶点 v

     * @return 最短路径

     */

    Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v);

}

Dijkstra 算法

我们可以使用一个距离数组 distTo[] 来保存起始点 \(v_s\) 到其余顶点 \(v_t\) 的最短路径，且 distTo[] 数组满足以下条件：

\[distTo(t) = \left\{ \begin{aligned} 0 \quad & t=s \\ l_{st} \quad & t\neq s 且\ t\ 可达\\ \infty \quad & t\ 不可达 \end{aligned} \right. \]

可以使用 Double.POSITIVE_INFINITY 来表示无穷大，有了 distTo[] 之后就能实现 ShortestPath 前两个方法： 

package com.zhiyiyo.graph;

public class DijkstraSP implements ShortestPath {

    private double[] distTo;

    @Override

    public double distTo(int v) {

        return distTo[v];

    }

    @Override

    public boolean hasPathTo(int v) {

        return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY;

    }

}

为了保存 \(v_s\) 到 \(v_t\) 的最短路径，可以使用一个边数组 edgeTo[] ，其中 edgeTo[v] = e_wv 表示要想到达 \(v_t\)，需要先经过顶点 \(v_w\)，接着从 edgeTo[w] 获取到达 \(v_w\) 之前需要到达的上一个节点，重复上述步骤直到发现 edgeTo[i] = null ，这时候就说明我们回到了 \(v_s\)。 获取最短路径的代码如下所示： 

@Override

public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) {

    if (!hasPathTo(v)) return null;

    Stack<DirectedEdge> path = new LinkStack<>();

    for (DirectedEdge e = edgeTo[v]; e != null; e = edgeTo[e.from()]) {

        path.push(e);

    }

    return path;

}

算法流程

虽然我们已经实现了上述接口，但是如何得到 distTo[] 和 edgeTo[] 还是个问题，这就需要用到 Dijkstra 算法了。算法的思想是这样的：

  1. 初始化 distTo[] 使得除了 distTo[s] = 0 外，其余的元素都为 Double.POSITIVE_INFINITY 。同时初始化 edgeTo[] 的每个元素都是 null ；

  2. 将顶点 s 的所有相邻顶点 \(v_j\) 加入集合 \(V'\) 中，设置 distTo[j] = l_sj 即初始化最短距离为邻边的权重；

  3. 从 \(V'\) 中取出距离最短即 distTo[m] 最小的顶点 \(v_m\)，遍历 \(v_m\) 的所有邻边 \((v_m, v_w)\)，如果有 \(l_{mw}+l_{sm}<l_{sw}\)，就说明从 \(v_s\) 走到 \(v_m\) 再一步走到 \(v_w\) 距离最短，我们就去更新 distTo[m] ，同时将 \(v_w\) 添加到 \(V'\) 中（如果 \(v_w\) 不在的话）；

  4. 重复上述过程直到 \(V'\) 变为空，我们就已经找到了所有 \(v_s\) 可达的顶点的最短路径。

上述过程中有个地方会影响算法的性能，就是如何从 \(V'\) 中取出最小距离对应的顶点 \(v_m\)。如果直接遍历 \(V'\) 最坏情况下时间复杂度为 \(O(|V|)\)，如果换成最小索引优先队列则可以将时间复杂度降至 \(O(\log|V|)\)。

最小索引优先队列

上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中介绍了最小堆的使用，最小堆可以在对数时间内取出数据集合中的最小值，对应到最短路算法中就是最短路径。但是有一个问题，就是我们想要的是最短路径对应的那个顶点 \(v_m\)，只使用最小堆是做不到这一点的。如何能将最小堆中的距离值和顶点进行绑定呢？这就要用到索引优先队列。

索引优先队列的 API 如下所示，可以看到每个元素 item 都和一个索引 k 进行绑定，我们可以通过索引 k 读写优先队列中的元素。想象一下堆中的所有元素放在一个数组 pq 中，索引优先队列可以做到在对数时间内取出 pq 的最小值。 

package com.zhiyiyo.collection.queue;

/**

 * 索引优先队列

 */

public interface IndexPriorQueue<K extends Comparable<K>> {

    /**

     * 向堆中插入一个元素

     *

     * @param k 元素的索引

     * @param item 插入的元素

     */

    void insert(int k, K item);

    /**

     * 修改堆中指定索引的元素值

     * @param k 元素的索引

     * @param item 新的元素值

     */

    void change(int k, K item);

    /**

     * 向堆中插入或修改元素

     * @param k 元素的索引

     * @param item 新的元素值

     */

    void set(int k, K item);

    /**

     * 堆是否包含索引为 k 的元素

     * @param k 索引

     * @return 是否包含

     */

    boolean contains(int k);

    /**

     * 弹出堆顶的元素并返回其索引

     * @return 堆顶元素的索引

     */

    int pop();

    /**

     * 弹出堆中索引为 k 为元素

     * @param k 索引

     * @return 索引对应的元素

     */

    K delete(int k);

    /**

     * 获取堆中索引为 k 的元素，如果 k 不存在则返回 null

     * @param k 索引

     * @return 索引为 k 的元素

     */

    K get(int k);

    /**

     * 获取堆中的元素个数

     */

    int size();

    /**

     * 堆是否为空

     */

    boolean isEmpty();

}

实现索引优先队列比优先队列麻烦一点，因为需要维护每个元素的索引。之前我们是将元素按照完全二叉树的存放顺序进行存储，现在可以换成索引，而元素只需根据索引值 k 放在数组 keys[k] 处即可。只有索引数组 indexes[] 和元素数组 keys[] 还不够，如果我们想实现 contains(int k) 方法，目前只能遍历一下 indexes[] ，看看 k 在不在里面，时间复杂度是 \(O(|V|)\)。何不多维护一个数组 nodeIndexes[] ，使得它满足下述关系：

\[\text{nodeIndexes}(k) = \left\{ \begin{aligned} d \quad & k \in \text{indexes} \\ -1 \quad & k \notin \text{indexes} \end{aligned} \right. \]

如果能在 nodeIndexes[k] 不是 -1，就说明索引 \(k\) 对应的元素存在与堆中，且索引 k 在 indexes[] 中的位置为 \(d\)，即有下述等式成立：

\[\text{indexes}[\text{nodeIndexes}[k]] = k\\ \text{nodeIndexes}[\text{indexes}[d]] = d \]

有了这三个数组之后我们就可以实现最小索引优先队列了： 

package com.zhiyiyo.collection.queue;

import java.util.Arrays;

import java.util.NoSuchElementException;

/**

 * 最小索引优先队列

 */

public class IndexMinPriorQueue<K extends Comparable<K>> implements IndexPriorQueue<K> {

    private K[] keys;           // 元素

    private int[] indexes;      // 元素的索引，按照最小堆的顺序摆放

    private int[] nodeIndexes;  // 元素的索引在完全二叉树中的编号

    private int N;

    public IndexMinPriorQueue(int maxSize) {

        keys = (K[]) new Comparable[maxSize + 1];

        indexes = new int[maxSize + 1];

        nodeIndexes = new int[maxSize + 1];

        Arrays.fill(nodeIndexes, -1);

    }

    @Override

    public void insert(int k, K item) {

        keys[k] = item;

        indexes[++N] = k;

        nodeIndexes[k] = N;

        swim(N);

    }

    @Override

    public void change(int k, K item) {

        validateIndex(k);

        keys[k] = item;

        swim(nodeIndexes[k]);

        sink(nodeIndexes[k]);

    }

    @Override

    public void set(int k, K item) {

        if (!contains(k)) {

            insert(k, item);

        } else {

            change(k, item);

        }

    }

    @Override

    public boolean contains(int k) {

        return nodeIndexes[k] != -1;

    }

    @Override

    public int pop() {

        int k = indexes[1];

        delete(k);

        return k;

    }

    @Override

    public K delete(int k) {

        validateIndex(k);

        K item = keys[k];

        // 交换之后 nodeIndexes[k] 发生变化，必须先保存为局部变量

        int nodeIndex = nodeIndexes[k];

        swap(nodeIndex, N--);

        // 必须有上浮的操作，交换后的元素可能比上面的元素更小

        swim(nodeIndex);

        sink(nodeIndex);

        keys[k] = null;

        nodeIndexes[k] = -1;

        return item;

    }

    @Override

    public K get(int k) {

        return contains(k) ? keys[k] : null;

    }

    public K min() {

        return keys[indexes[1]];

    }

    /**

     * 获取最小的元素对应的索引

     */

    public int minIndex() {

        return indexes[1];

    }

    @Override

    public int size() {

        return N;

    }

    @Override

    public boolean isEmpty() {

        return N == 0;

    }

    /**

     * 元素上浮

     *

     * @param k 元素的索引

     */

    private void swim(int k) {

        while (k > 1 && less(k, k / 2)) {

            swap(k, k / 2);

            k /= 2;

        }

    }

    /**

     * 元素下沉

     *

     * @param k 元素的索引

     */

    private void sink(int k) {

        while (2 * k <= N) {

            int j = 2 * k;

            // 检查是否有两个子节点

            if (j < N && less(j + 1, j)) j++;

            if (less(k, j)) break;

            swap(k, j);

            k = j;

        }

    }

    /**

     * 交换完全二叉树中编号为 a 和 b 的节点

     *

     * @param a 索引 a

     * @param b 索引 b

     */

    private void swap(int a, int b) {

        int k1 = indexes[a], k2 = indexes[b];

        nodeIndexes[k2] = a;

        nodeIndexes[k1] = b;

        indexes[a] = k2;

        indexes[b] = k1;

    }

    private boolean less(int a, int b) {

        return keys[indexes[a]].compareTo(keys[indexes[b]]) < 0;

    }

    private void validateIndex(int k) {

        if (!contains(k)) {

            throw new NoSuchElementException("索引" + k + "不在优先队列中");

        }

    }

}

注意对比最小堆和最小索引堆的 swap(int a, int b) 方法以及 less(int a, int b) 方法，在交换堆中的元素时使用的依据是元素的大小，交换之后无需调整 keys[] ，而是交换 nodeIndexes[] 和 indexes[] 中的元素。

实现算法

通过上述的分析，实现 Dijkstra 算法就很简单了，时间复杂度为 \(O(|E|\log |V|)\)： 

package com.zhiyiyo.graph;

import com.zhiyiyo.collection.queue.IndexMinPriorQueue;

import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;

import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;

import java.util.Arrays;

public class DijkstraSP implements ShortestPath {

    private double[] distTo;

    private DirectedEdge[] edgeTo;

    private IndexMinPriorQueue<Double> pq;

    private int s;

    public DijkstraSP(WeightedDigraph graph, int s) {

        pq = new IndexMinPriorQueue<>(graph.V());

        edgeTo = new DirectedEdge[graph.V()];

        // 初始化距离

        distTo = new double[graph.V()];

        Arrays.fill(distTo, Double.POSITIVE_INFINITY);

        distTo[s] = 0;

        visit(graph, s);

        while (!pq.isEmpty()) {

            visit(graph, pq.pop());

        }

    }

    private void visit(WeightedDigraph graph, int v) {

        for (DirectedEdge edge : graph.adj(v)) {

            int w = edge.to();

            if (distTo[w] > distTo[v] + edge.getWeight()) {

                distTo[w] = distTo[v] + edge.getWeight();

                edgeTo[w] = edge;

                pq.set(w, distTo[w]);

            }

        }

    }

    // 省略已实现的方法 ...

}

后记

Dijkstra 算法还能继续优化，将最小索引堆换成斐波那契堆之后时间复杂度为 \(O(|E|+|V|\log |V|)\)，这里就不写了（因为还没学到斐波那契堆），以上~~

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