用优先队列构造Huffman Tree及判断是否为最优编码的应用

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前言

我们知道，要构造Huffman Tree，每次都要从堆中弹出最小的两个权重的节点，然后把这两个权重的值相加存放到新的节点中，同时让这两个节点分别成为新节点的左右儿子，再把新节点插入到堆中。假设节点个数为n，则重复n-1次后，最后堆中的那个节点就是Huffman Tree的根。

用堆实现当然可以，但是比较麻烦。你需要定义一个最小堆，堆的初始化操作，堆的插入操作，取出最小元素并调整堆的操作。先不说对这些代码是否熟悉掌握，当把这些函数都码完，别人题目都已经做完了。

这里我们用更方便的方法来构造一颗Huffman Tree。就是用STL中的优先队列。其实优先队列的本质就是一个堆。这样我们就不需要再动手码这么多的函数了。同时，如果以后的题目需要用到堆这种数据结构，直接用优先队列就可以了。

用优先队列构造Huffman Tree

要使用优先队列 priority_queue ，就需要包含头文件 #include <queue> 。

树节点的定义如下：

1 struct Data {
2 char letter;
3 int freq;
4 };
5
6 struct TNode {
7 Data data;
8 TNode *left, *right;
9 };

然后输入字符和频率大小，把TNode*压入到优先队列中。当我们需要频率最小的频率的那个节点，只需要从优先队列中弹出一个元素就可以了，那个元素就是含有最小频率的那个节点。

不过需要注意的是，优先队列默认情况下是一个最大堆，这需要我们自定义一个比较函数，以实现最小堆。同时，我们比较的数据类型是我们自定义的数据类型TNode*，所以需要改成相应的数据类型。

这里我们通过重写仿函数，来实现最小堆：

1 class cmp {
2 public:
3 bool operator()(TNode *a, TNode *b) {
4 // 当返回true，说明a的优先级小于b
5 // 这里用 '>' 表示，如果a节点对应的频率大于b节点，就说明a的优先级小于b，从而实现堆顶元素是频率最小的那个节点，也就是最小堆
6 return a->data.freq > b->data.freq;
7 }
8 };

这里我们压入到优先队列中的数据类型是TNode*，因此在定义优先队列时，传入的数据类型是TNode*。读入数据的函数如下：

1 void readData(std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> &pq) { // 传入在main函数中定义的优先队列
2 int n;
3 scanf("%d", &n); // 输入节点的个数
4 for (int i = 0; i < n; i++) {
5 TNode *tmp = new TNode;
6
7 getchar(); // 把多余的字符，也就是回车和空格读掉
8 scanf("%c %d", &tmp->data.letter, &tmp->data.freq);
9 tmp->left = tmp->right = NULL;
10 pq.push(tmp); // 把新节点的指针压进优先队列中
11 }
12 }

最后是核心代码，构造Huffman Tree的函数。

函数框架：如果优先队列不为空，则新建一个TNode节点，弹出堆顶的元素，并让新节点的left指向弹出这个弹出的节点。再判断一次优先队列是否为空；

如果不为空，就再弹出一个堆顶元素，并让新节点的right指向弹出的节点。同时，把弹出的两个节点的频率相加的结果存放到新节点中，最后把新节点的指针压到堆中。
如果为空，就说明刚刚弹出的节点就是我们要构造的Huffman Tree的根节点，只需要把它返回就可以了。

所以，构造Huffman Tree的函数如下：

1 TNode *createHuffmanTree(std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> &pq) {
2 while (!pq.empty()) { // 优先队列不为空
3 TNode *tmp = new TNode; // 新建一个节点
4 tmp->left = pq.top(); // 弹出堆顶元素，作为新节点的左孩子
5 pq.pop();
6
7 if (!pq.empty()) { // 刚才弹出元素后，优先队列不为空
8 tmp->right = pq.top(); // 再弹出一个元素，作为新节点的右孩子
9 pq.pop();
10
11 tmp->data.freq = tmp->left->data.freq + tmp->right->data.freq; // 把左右孩子存放的频率的相加结果存放到新节点中
12 pq.push(tmp); // 把新节点的指针压入优先队列中
13 }
14 else { // 否则，刚才弹出元素后，优先队列就空了
15 return tmp->left; // 刚才弹出的元素就是Huffman Tree的根节点，直接返回即可
16 }
17 }
18 }

现在给出完整的构造Huffman Tree的代码，同时计算出这颗Huffman Tree的WPL。

1 #include <cstdio>
2 #include <queue>
3 #include <vector>
4
5 struct Data {
6 char letter;
7 int freq;
8 };
9
10 struct TNode {
11 Data data;
12 TNode *left, *right;
13 };
14
15 class cmp {
16 public:
17 bool operator()(TNode *a, TNode *b) {
18 return a->data.freq > b->data.freq;
19 }
20 };
21
22 void readData(std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> &pq);
23 TNode *createHuffmanTree(std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> &pq);
24 int WPL(TNode *T, int depth);
25
26 int main() {
27 std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> pq;
28
29 readData(pq);
30 TNode *huffmanTree = createHuffmanTree(pq);
31 printf("%d", WPL(huffmanTree, 0));
32
33 return 0;
34 }
35
36 void readData(std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> &pq) {
37 int n;
38 scanf("%d", &n);
39 for (int i = 0; i < n; i++) {
40 TNode *tmp = new TNode;
41
42 getchar();
43 scanf("%c %d", &tmp->data.letter, &tmp->data.freq);
44 tmp->left = tmp->right = NULL;
45 pq.push(tmp);
46 }
47 }
48
49 TNode *createHuffmanTree(std::priority_queue<TNode*, std::vector<TNode*>, cmp> &pq) {
50 while (!pq.empty()) {
51 TNode *tmp = new TNode;
52 tmp->left = pq.top();
53 pq.pop();
54
55 if (!pq.empty()) {
56 tmp->right = pq.top();
57 pq.pop();
58
59 tmp->data.freq = tmp->left->data.freq + tmp->right->data.freq;
60 pq.push(tmp);
61 }
62 else {
63 return tmp->left;
64 }
65 }
66 }
67
68 int WPL(TNode *T, int depth) {
69 if (T->left == NULL && T->right == NULL) return depth * T->data.freq;
70 else return WPL(T->left, depth + 1) + WPL(T->right, depth + 1);
71 }

对应的Huffman Tree如下，通过检验WPL正是77。

满足最优编码的条件

我们知道，通过构造Huffman Tree而得到的编码一定是最优编码，但是最优编码不一定是通过构造Huffman Tree来得到的。而且通过构造Huffman Tree得到的最优编码是不唯一的，任意交换左右子树的位置得到的也是最优编码。

所以我们如何判断给定的编码是否为最优编码？首先，我们要找到最优编码的共同特点：

最优编码的WPL一定是最小的。
无歧义解码——前缀码：数据仅存于叶子节点。
没有度为1的节点。

其中如果满足1，2这两个条件，就一定满足第3个条件，这个可以用反证法证明。所以，要判断编码是否为最优编码，只需要检验编码是否满足1，2这两个条件就可以了。

下面给出一道具体的题目，来说明如何对编码进行1，2点的检验。

判断编码是否为最优编码

这里给出一道例题：Huffman Codes。题目就是给定一组字符的频率，再给出多组字符对应的编码，让我们来判断这些编码是否为最优编码。

原题以及更详细的题解可以参考：https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/14628257.html，这里给出多种解法，有用堆去实现的，有用优先队列实现的。

这里我们用优先队列来判断编码是否为最优编码。我们只摘取题目中的测试样例：

Sample Input:

7
A 1 B 1 C 1 D 3 E 3 F 6 G 6
4
A 00000
B 00001
C 0001
D 001
E 01
F 10
G 11
A 01010
B 01011
C 0100
D 011
E 10
F 11
G 00
A 000
B 001
C 010
D 011
E 100
F 101
G 110
A 00000
B 00001
C 0001
D 001
E 00
F 10
G 11

Sample Output:

Yes
Yes
No
No

虽然题目看上去好像要构造一颗Huffman Tree，但实际上我们可以在整一个过程中不构造任何一颗树，只需要用到STL中的map和priority_queue就可以完成判断编码是否为最优编码。我们只需要判断编码是否为最优编码，因此更多的是处理频率这一数据。

先给出整一个程序框架。我们先读入字符和对应频率，同时把频率压入优先队列形成最小堆。然后再输入多组要判断是否为最优编码的数据，同时进行相应的判断和检测。所以我们的main函数的框架就是这样：

1 int main() {
2 map<char, int> letterFreq; // 用map来存储字符和对应的频率，字符映射为对应的频率
3 priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > pq; // 优先队列，存储的数据类型为int，由于默认是最大堆，所以传入greater<int>使其变成最小堆
4
5 int n;
6 cin >> n;
7 readLetterFreq(letterFreq, pq, n); // 读入字符和频率，同时为频率生成最小堆的函数
8 checkOptimalCode(letterFreq, pq, n); // 判断多组编码是否为最优编码的函数
9
10 return 0;
11 }

下面来分析这两个函数是如何实现的。首先，对于输入的字符和对应的频率，我们用map来存储，形成一种映射的关系。同时在输入字符和频率的过程中，我们把频率压入优先队列中，这样就可以在读入字符和频率的过程中，也完成最小堆的构造。注意，我们压入优先队列的是字符频率，所以优先队列存储的数据类型是int，而不再是上面的TNode*了。

readLetterFreq函数相关代码如下：

1 void readLetterFreq(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n) {
2 for (int i = 0; i < n; i++) {
3 char letter;
4 getchar(); // 读掉多余的字符，如回车，空格
5 cin >> letter; // 读入字符
6 getchar();
7 cin >> letterFreq[letter]; // 读入频率，为字符的映射
8
9 pq.push(letterFreq[letter]);// 把读入的频率压入到优先队列中，构成最小堆
10 }
11 }

接下来我们要做的事情是计算给定字符的WPL。其实计算WPL不一定要构造一颗Huffman Tree，然后用深度乘以频率再求和来得到。还有一种方法是把Huffman Tree中度为2的节点存放的频率都相加起来，最后得到的结果也是WPL。这是因为叶子节点被重复计算，和用深度乘以频率的原理基本一样。就拿题目给的测试样例来举例：

这看上去还是要构造一颗树啊，但实际上，如果我们用优先队列根本不需要构造一颗树。思路是这样的：我们要有一个变量来累加如上图度为2节点存放频率。每次从优先队列里弹出两个频率，这两个频率是优先队列中所包含频率里面最小的那两个，然后把这两个频率相加，相加的结果其实就对应上图度为2节点存放的频率，也就是红色的数字。然后把相加的结果累加到一个变量，同时把相加的结果压入优先队列中。其实这个累加的过程就是累加上图红色的那些数字。一直重复，直到优先队列为空，那么那个变量最后累加的结果就是我们要计算的WPL。

计算WPL的函数代码如下：

1 int getWPL(priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq) {
2 int wpl = 0; // 用来保存累加的结果
3 while (!pq.empty()) { // 当优先队列不为空
4 int tmp = pq.top(); // 从优先队列弹出一个元素，这个元素就是最小频率
5 pq.pop();
6
7 if (pq.empty()) break; // 如果弹出那个频元素优先队列就为空了，退出循环
8
9 tmp += pq.top(); // 如果优先队列不为空，再弹出一个元素，同时把两个频率进行相加
10 pq.pop();
11 pq.push(tmp); // 把两个频率相加的结果压入优先队列中
12
13 wpl += tmp; // 同时，把这个相加结果进行累加，对应着累加度为2节点的存放频率
14 }
15
16 return wpl;
17 }

接下来我们需要对多组编码进行检验。即先检验编码的长度是否与给定字符频率的WPL相同，再检验是否为前缀码。

计算每组编码的方法很简单，由于输入已经给出每个字符的编码，所以就自然知道这个字符对应编码的长度。所以并不需要调用上面的getWPL函数，只需要用这个字符对应的编码长度乘以对应的频率就可以了。每一组编码的WPL计算公式为：

再判断codeLen是否与上面求出的给定频率的WPL相等，如果不相等，就说明这个编码不是最优编码，就不需要再判断是否为前缀码了。如果相等再去判断是否为前缀码。

这里还有个陷阱。首先我们要知道，一个最优编码的长度是不会超过n-1的。所以如果某个编码的长度大于n-1也说明该编码不是最优编码。

这里先给出checkOptimalCode函数的代码，接下来解释如何判断编码是否为前缀码。

1 void checkOptimalCode(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n) {
2 int wpl = getWPL(pq); // 用不构造Huffman Tree的方法来计算WPL
3
4 int m;
5 cin >> m; // 输入判断编码的组数m
6 for (int i = 0; i < m; i++) {
7 string code[n];
8 int codeLen = 0;
9 bool ret = true;
10
11 for (int i = 0; i < n; i++) {
12 char letter;
13 getchar();
14 cin >> letter >> code[i]; // 读入字符和对应的编码
15
16 if (ret) { // 如果已经知道该组编码不是最优编码就不需要再计算编码长度了，但仍要继续输入
17 if (code[i].size() > n - 1) ret = false; // 如果某个字符的编码长度大于n-1，说明该组编码不是最优编码
18 codeLen += code[i].size() * letterFreq[letter]; // 计算编码长度
19 }
20 }
21
22 if (ret && codeLen == wpl) { // 如果ret == true并且编码长度与WPL相同，才判断该组编码是否为前缀码
23 for (int i = 0; i < n; i++) { // 每个字符都跟它之后的字符进行判断是否满足前缀码的要求
24 for (int j = i + 1; j < n; j++) {
25 // 判断某个编码是否与另外一个编码前m个位置的相同，详细请看图片
26 if (code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size())) {
27 ret = false; // 只要有一对编码的前缀相同，就说明这组的编码不满足前缀码
28 break; // 后面的字符不需要判断了，直接退出退出判断前缀码的循环
29 }
30 }
31 if (ret == false) break;
32 }
33 }
34 else {
35 ret = false;
36 }
37
38 cout << (ret ? "Yes\n" : "No\n");
39 }
40 }

下面来说说如何判断编码是否为前缀码。首先，假设现在有两个编码，如果这两个编码不满足前缀码的话，比如"110"和"1101"，那么其中一个编码会与另外一个编码前的m个位置的相同（其中m是指这两个编码长度中最小的那个长度）。也就是说"110"，与"1101"的前3个位置的"110"相同，就说明"110"和"1101"不满足前缀码。

我们需要对同组编码的每两个字符进行比较，需要比较的次数为 C(n, 2) = n * (n - 1) / 2 。

相关的函数代码上面已经给出。主要是 code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size()) 这个部分。

code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size()) ，这么做始终能够保证取到两个编码中，长度最小那个编码的全部，以及另外一个编码的前面同样长度的部分，来进行判断是否满足前缀码。

下面给出这道题完整的AC代码：

1 #include <cstdio>
2 #include <iostream>
3 #include <string>
4 #include <vector>
5 #include <queue>
6 #include <map>
7 using namespace std;
8
9 void readLetterFreq(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n);
10 void checkOptimalCode(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n);
11 int getWPL(priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq);
12
13 int main() {
14 map<char, int> letterFreq;
15 priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > pq;
16
17 int n;
18 cin >> n;
19 readLetterFreq(letterFreq, pq, n);
20 checkOptimalCode(letterFreq, pq, n);
21
22 return 0;
23 }
24
25 void readLetterFreq(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n) {
26 for (int i = 0; i < n; i++) {
27 char letter;
28 getchar();
29 cin >> letter;
30 getchar();
31 cin >> letterFreq[letter];
32
33 pq.push(letterFreq[letter]);
34 }
35 }
36
37 void checkOptimalCode(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n) {
38 int wpl = getWPL(pq);
39
40 int m;
41 cin >> m;
42 for (int i = 0; i < m; i++) {
43 string code[n];
44 int codeLen = 0;
45 bool ret = true;
46
47 for (int i = 0; i < n; i++) {
48 char letter;
49 getchar();
50 cin >> letter >> code[i];
51
52 if (ret) {
53 if (code[i].size() > n - 1) ret = false;
54 codeLen += code[i].size() * letterFreq[letter];
55 }
56 }
57
58 if (ret && codeLen == wpl) {
59 for (int i = 0; i < n; i++) {
60 for (int j = i + 1; j < n; j++) {
61 if (code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size())) {
62 ret = false;
63 break;
64 }
65 }
66 if (ret == false) break;
67 }
68 }
69 else {
70 ret = false;
71 }
72
73 cout << (ret ? "Yes\n" : "No\n");
74 }
75 }
76
77 int getWPL(priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq) {
78 int wpl = 0;
79 while (!pq.empty()) {
80 int tmp = pq.top();
81 pq.pop();
82
83 if (pq.empty()) break;
84
85 tmp += pq.top();
86 pq.pop();
87 pq.push(tmp);
88
89 wpl += tmp;
90 }
91
92 return wpl;
93 }