go语言椭圆曲线点乘运算 椭圆曲线计算公式

【区块链与密码学】第6-4讲：椭圆曲线的数字签名算法

1985年，Koblitz和Miller独立地提出了椭圆曲线公钥密码体制(ECC)，安全性基于椭圆曲线群上go语言椭圆曲线点乘运算的离散对数问题的难解性，该问题目前最好的解法是指数级时间的算法。

一般认为，RSA和DH密钥交换协议需用1024比特以上的模数才安全，但对ECC，只要160比特的模数就可达到同样级别的安全性。

椭圆曲线指的是由Weierstrass方程

所确定的曲线

有限域Fp上的椭圆曲线是由满足Fp上的方程  

的所有点和无穷远点 O 构成的集合

有时也记作 E。

设 P ， Q 是E上的任意两点，连接 P ， Q 交 E 于 R’ ，则称 R’ 关于x轴的对称点 R 为 P 与 Q 的和，记为go语言椭圆曲线点乘运算：

P + Q = R

当 P 与 Q 重合时

R = P+Q = P+P = 2P

此时称之为 点倍运算

当 P 与 Q 关于x轴对称时,

定义 P 与 Q 的和为 O ，即：

P + Q = O

并称 O 为无穷远点

可以证明，有限域上的椭圆曲线在go语言椭圆曲线点乘运算我们定义的加法运算下构成群。

既然构成群，就必然有零元和负元，这里的零元就为无穷远点 O ， P 的负元就是它关于x轴的对称点，记为 –P 。

显然有

P+O =O+P=P

若P=(x, y)，则 –P=(x, –y) 且 P+(–P)=O

已知 E(F) 上两点 P=(x1, y1), Q=(x2, y2) , 求 P+Q 。

解：设 P+Q=R =(x3, y3) ,

解得

当 P≠Q 时，

当 P=Q 时，

k(k2) 个相同的点 P 相加为

此时称之为点乘运算

设

称n为点 P 的阶，记为 n=ord(P) 。

由阶为n的点 P 在上述加法定义下生成的循环群 P 是椭圆曲线群 (E(F), +) 的一个n阶子群。

设E是有限域 F 上的椭圆曲线， G 是 E 的一个循环子群，点 P 是 G 的一个生成元，即 G={kP: k≥1}， 在已知 P ， Q 的条件下，求解整数n，使得 nP=Q 的问题，称为椭圆曲线 E 上的离散对数问题。

今天的课程就到这里啦，下一堂课我们将学习基于椭圆曲线的数字签名算法中的SM2算法，带大家继续了解数字签名，敬请期待go语言椭圆曲线点乘运算！

-- 完 --

关注点宽学园，每周持续更新区块链系列课程，小宽带go语言椭圆曲线点乘运算你进入区块链世界。我们下节课见啦。

【区块链与密码学】课堂回顾：

区块链与密码学系列文章合集

相关问答

Q1: 椭圆曲线算法原理

椭圆曲线的公式

Y^2 = x^3 + a x + b

椭圆曲线的运算规则

1.加法：过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

2.二倍运算：上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。如下图所示：A + A = 2A = B

3.正负取反：将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。

4.无穷远点：如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

有限域内的椭圆曲线计算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

　假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：

　y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。

综述：

定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

Q2: 非对称加密之ECC椭圆曲线（go语言实践）

椭圆曲线密码学(英语:Elliptic curve cryptography，缩写为 ECC)，一种建立公开密钥加密的算法，基于椭圆曲线数学。椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA加密算法——提供相当的或更高等级的安全。

椭圆曲线密码学的许多形式有稍微的不同，所有的都依赖于被广泛承认的解决椭圆曲线离散对数问题的 困难性上。与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同，ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥。

ECC 164位的密钥产生的一个安全级相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度，而且计算量较小，处理速度 更快，存储空间和传输带宽占用较少。目前我国 居民二代身份证 正在使用 256 位的椭圆曲线密码，虚拟 货币 比特币 也选择ECC作为加密算法。

具体算法详解参考:

关于go语言椭圆曲线点乘运算和椭圆曲线计算公式的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。