word2vec改进之Hierarchical Softmax

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首先Hierarchical Softmax是word2vec的一种改进方式，因为传统的word2vec需要巨大的计算量，所以该方法主要有两个改进点：

1. 对于从输入层到隐藏层的映射，没有采取神经网络的线性变换加激活函数的方法，而是采用简单的对所有输入词向量求和并取平均的方法。

比如输入的是三个4维词向量：(1,2,3,4),(9,6,11,8),(5,10,7,12)(1,2,3,4),(9,6,11,8),(5,10,7,12),那么我们word2vec映射后的词向量就是(5,6,7,8)。这里是从多个词向量变成了一个词向量。

2.第二个改进就是从隐藏层到输出的softmax层这里的计算量个改进。为了避免要计算所有词的softmax概率，word2vec采样了霍夫曼树来代替从隐藏层到输出softmax层的映射

所以这里主要分为三个部分，霍夫曼树的介绍，基于Hierarchical Softmax的CBOW模型和基于Hierarchical Softmax的Skip-Gram模型。

一. 霍夫曼树

构造霍夫曼树步骤：

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；

(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

举例：假设有a,b,c,d,e,f六个数，并且值分别为9，12，6，3，5，15

构造的哈夫曼树如下图所示：

这里约定编码方式左子树的编码为1，右子树的编码为0，同时约定左子树的权重不小于右子树的权重。

二. 基于Hierarchical Softmax的CBOW模型

同时CBOW采用了Hierarchical Softmax，该算法结合了Huffman编码，每个词 w 都可以从树的根结点root沿着唯一一条路径被访问到，其路径也就形成了其编码code。假设 n(w, j)为这条路径上的第 j 个结点，且 L(w)为这条路径的长度， j 从 1 开始编码，即 n(w, 1)=root，n(w, L(w)) = w。对于第 j 个结点，层次 Softmax 定义的Label 为 1 - code[j]。

取一个适当大小的窗口当做语境，输入层读入窗口内的词，将它们的向量（K维，初始随机）加和在一起，形成隐藏层K个节点。输出层是一个巨大的二叉树，叶节点代表语料里所有的词（语料含有V个独立的词，则二叉树有|V|个叶节点）。而这整颗二叉树构建的算法就是Huffman树。这样，对于叶节点的每一个词，就会有一个全局唯一的编码，形如"010011"，不妨记左子树为1，右子树为0。接下来，隐层的每一个节点都会跟二叉树的内节点有连边，于是对于二叉树的每一个内节点都会有K条连边，每条边上也会有权值。

比如在给定上下文时，对于一个要预测的词（这应该算是一个正样本，该词是预先知道的），这时就让预测词的二进制编码概率最大即可（采用logistic函数计算概率），例如如果一个词是“010001”，我们求解第一位为0的概率，第二位为1的概率等等。而一个词在当前网络中的概率就是从根结点到该词路径上的概率的乘积。于是就能够得到样本差值，接下来用梯度下降的方法求解参数即可。很显然，神经网络就是用正负样本不断训练，求解输出值与真实值误差，然后用梯度下降的方法求解各边权重参数值的。这里采用二叉树的方式是为了降低时间复杂度

这里总结下基于Hierarchical Softmax的CBOW模型算法流程，梯度迭代使用了随机梯度上升法

步骤：

输入：基于CBOW的语料训练样本，词向量的维度大小M，CBOW的上下文大小2c,步长η

输出：霍夫曼树的内部节点模型参数θ，所有的词向量w

1. 基于语料训练样本建立霍夫曼树。

2. 随机初始化所有的模型参数θ，所有的词向量w

3. 进行梯度上升迭代过程，对于训练集中的每一个样本(context(w),w)做如下处理：

三. 基于Hierarchical Softmax的Skip-Gram模型

Skip-Gram模型和CBOW模型其实是反过来的

对于从输入层到隐藏层（投影层），这一步比CBOW简单，由于只有一个词，所以，即xwxw就是词ww对应的词向量。

第二步，通过梯度上升法来更新我们的θwj−1和xw，注意这里的xw周围有2c个词向量，此时如果我们期望P(xi|xw),i=1,2...2c最大。此时我们注意到由于上下文是相互的，在期望P(xi|xw),i=1,2...2c最大化的同时，反过来我们也期望P(xw|xi),i=1,2...2c最大。那么是使用P(xi|xw)好还是P(xw|xi)好呢，word2vec使用了后者，这样做的好处就是在一个迭代窗口内，我们不是只更新xwxw一个词，而是xi,i=1,2...2c共2c个词。这样整体的迭代会更加的均衡。因为这个原因，Skip-Gram模型并没有和CBOW模型一样对输入进行迭代更新，而是对2c个输出进行迭代更新。

这里总结下基于Hierarchical Softmax的Skip-Gram模型算法流程，梯度迭代使用了随机梯度上升法：

输入：基于Skip-Gram的语料训练样本，词向量的维度大小M，Skip-Gram的上下文大小2c,步长η

输出：霍夫曼树的内部节点模型参数θ，所有的词向量w

1. 基于语料训练样本建立霍夫曼树。

2. 随机初始化所有的模型参数θ，所有的词向量w,

3. 进行梯度上升迭代过程，对于训练集中的每一个样本(w,context(w))做如下处理：