论文解读（MCGC）《Multi-view Contrastive Graph Clustering》

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论文信息

论文标题：Multi-view Contrastive Graph Clustering
论文作者：Erlin Pan、Zhao Kang
论文来源：2021, NeurIPS
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1 介绍

本文贡献：

- 使用Graph Filter 过滤了高阶噪声数据；
- 提出 Graph Contrastive Regularizer 改善了视图的质量；

2 方法

2.1 定义

将多视图图数据定义为 $G=\left\{\mathcal{V}, E_{1}, \ldots, E_{V}, X^{1}, \ldots, X^{V}\right\}$，其中 $\mathcal{V}$ 表示 $N$ 个节点的集合，$e_{i j} \in E_{v}$ 表示第 $v$ 个视图中节点 $i$ 与节点 $j $ 的关系，$X^{v}=\left\{x_{1}^{v}, \ldots, x_{N}^{v}\right\}^{\top}$ 为特征矩阵。邻接矩阵 $\left\{\widetilde{A}^{v}\right\}_{v=1}^{V}$ 描述了初始图的结构。$\left\{D^{v}\right\}_{v=1}^{V}$ 表示不同视图中的度矩阵。归一化邻接矩阵 $A^{v}=\left(D^{v}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\widetilde{A}^{v}+I\right)\left(D^{v}\right)^{-\frac{1}{2}}$ 和相应的图拉普拉斯算子 $L^{v}=I-A^{v}$。

2.2 Graph Filtering

$N$ 个节点的特征矩阵 $ X \in \mathbb{R}^{N \times d}$ 可以被视为 $ d$ 个 $N$ 维图信号。根据底层图，一个自然信号在附近的节点上应该是平滑的。平滑信号 $H$ 可以通过解决以下优化问题来实现：

$\underset{\text{H}}{\text{min}}\; \|H-X\|_{F}^{2}+s \operatorname{Tr}\left(\mathrm{H}^{\top} \mathrm{LH}\right)\quad\quad\quad(1) $

其中，$s>0$是一个平衡参数，$L $ 是与 $X$ 相关的拉普拉斯矩阵，可以通过对 $\text{Eq.1}$ 求导得到 $\text{H}$：

$H=(I+s L)^{-1} X\quad\quad\quad(2)$

为了避免求矩阵转置，我们用它的一阶泰勒级数展开式来近似 $\text{H}$，即 $H=(I−sL)X$。一般来说，第 $m$ 阶图滤波可以写成

$H=(I-s L)^{m} X\quad\quad\quad(3)$

其中 $m$ 是一个非负整数。图滤波可以在保留图的几何特征的同时，过滤出不良的高频噪声。

推导过程
$\|H-X\|_{F}^{2}+\operatorname{sTR}\left(H^{\top} L H\right)$
$\Leftrightarrow $
$\begin{aligned}&(H-X)^{\top}(H-X)+S\left(H^{\top} L H\right) \\=&\left(H^{\top}-X^{\top}\right)(H-X)+S H^{\top} L H \\=& H^{\top} H-H^{\top} X-X^{\top} H+X^{\top} X+S H^{\top} L H\end{aligned}$
此外
${\large \begin{array}{l} &\frac{\partial\left(H^{\top} H-H^{\top} X-X^{\top} H+X^{\top} X+s H^{\top} L H\right)}{\partial H} \\&= \frac{\partial H^{\top} H}{\partial H}-\frac{\partial H^{\top} X}{\partial H}-\frac{\partial X^{\top} H}{\partial H}+\frac{\partial X^{\top} X}{\partial H}+\frac{\partial s H^{\top} L H}{\partial H} \\&= 2 H-X-X+s\left(L H+L^{\top} H\right) \\&= 2 H-2 X+s L H +s L^{\top} H \\&=\left(2+S L+S L^{\top}\right) H-2 X\end{array}} $
$\begin{array}{l}2(I+S L) H=2 X \\H=(I+S L)^{-1} X\end{array}$
回忆：
$\|A\|_{F}=\sqrt{\sum\limits_{i}^{n} \sum\limits _{j}^{n} a_{i j}^{2}}$
泰勒展开 $(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+A^{3}+\cdots(\rho(A)<1)$

2.3 Graph Learning

为从平滑的表示 $H$ 中学习到一个优化的图 $S$，这里考虑使用自表达模型（ self-expression）【每个数据点都可以用其他数据样本的线性组合来表示】去表示：

$\underset{S}{\text{min}}\left\|H^{\top}-H^{\top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha\|S\|_{F}^{2}\quad\quad\quad(4)$

其中，$S \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 为图矩阵，$\alpha>0$ 为权衡参数。

第一项是重构损失，第二项是作为一个正则化项，以避免平凡解。许多其他的正则化器也可以被应用，如核范数，稀疏$\ell_{1}$范数。

为了处理多视图数据，我们可以为每个视图计算一个平滑表示的 $H^{v}$，并扩展 $\text{Eq.4 }$ 通过引入一个加权因子来区分不同观点的贡献。

$\underset{S, \lambda^{v}}{\text{min}} \sum\limits _{v=1}^{V} \lambda^{v}\left(\left\|H^{v \top}-H^{v \top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha\|S\|_{F}^{2}\right)+\sum\limits_{v=1}^{V}\left(\lambda^{v}\right)^{\gamma}\quad\quad\quad(5)$

其中，$\lambda^{v} $ 为第 $v$ 个视图的权值，$\gamma$ 为平滑参数。$\text{Eq.5 }$ 学习了一个由所有视图共享的 Consensus Graph $S$。为了学习更有鉴别性的 $S$，我们在本文中引入了一种新的正则化器。

2.4 Graph Contrastive Regularizer

本文选择将每个节点及其 $k$ 个近邻(KNN)视为正对。然后，我们通过在图矩阵 $S$ 上应用对比正则化器，而不是使用节点特征，从而在图级上进行对比学习。它可以表示为

$\mathcal{J}=\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits _{j \in \mathbb{N}_{i}^{v}}-{\large \log \frac{\exp \left(S_{i j}\right)}{\sum\limits_{p \neq i}^{N} \exp \left(S_{i p}\right)}} \quad\quad\quad(6)$

其中，$\mathbb{N}_{i}^{v}$ 表示第 $v$ 个视图中节点 $i$ 的 $k$ 个最近邻。

$\text{Eq.6 }$是将邻居拉近，并将非邻居分开，以提高图的质量。最终，我们提出的多视点对比图聚类(MCGC)模型可以表述为：

$\underset{S, \lambda^{v}}{\text{min}} \sum\limits_{v=1}^{V} \lambda^{v}\left(\left\|H^{v \top}-H^{v \top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j \in \mathbb{N}_{i}^{v}}-{\large \log \frac{\exp \left(S_{i j}\right)}{\sum\limits_{p \neq i}^{N} \exp \left(S_{i p}\right)}} \right)+\sum\limits_{v=1}^{V}\left(\lambda^{v}\right)^{\gamma}\quad\quad\quad(7)$

与现有的多视图聚类方法不同，MCGC从多视图属性和多个结构图中探索整体信息。此外，它从平滑信号而不是原始数据构建一个 consensus graph。

2.5 Optimization

在等式中有两组 $\text{Eq.7 }$，很难直接解决它们。为了优化它们，我们采用了一种交替优化策略，即每次更新一个变量并固定所有其他变量。

固定 $\lambda^{v}$ , 优化 $S$：

因为 $\lambda^{v}$ 是固定的，所以我们的目标函数可以表示为：

$\underset{S}{\text{min}} \sum\limits_{v=1}^{V} \lambda^{v}\left(\left\|H^{v \top}-H^{v \top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j \in \mathbb{N}_{i}^{v}}-\log {\large \frac{\exp \left(S_{i j}\right)}{\sum\limits_{p \neq i}^{N} \exp \left(S_{i p}\right)}} \right)\quad\quad\quad(8)$

$S$ 可以用梯度下降法简单地求解，它在 $t$ 时代的导数可以记为

$\nabla_{1}^{(\mathrm{t})}+\alpha \nabla_{2}^{(t)}\quad\quad\quad(9)$

第一个项是：

$\nabla_{1}^{(\mathrm{t})}=2 \sum\limits _{v=1}^{V} \lambda^{v}\left(-\left[H^{v} H^{v \top}\right]_{i j}+\left[H^{v} H^{v \top} S^{(t-1)}\right]_{i j}\right)\quad\quad\quad(10)$

定义：$K^{(\mathrm{t}-1)}=\sum_{p \neq i}^{N} \exp \left(S_{i p}^{(t-1)}\right)$ ，$n$为所有邻居的数目，因此第二项为：

$\nabla_{2}^{(t)}=\left\{\begin{array}{l}\sum\limits_{v=1}^{V} \lambda^{v}\left(-1+{\large \frac{n \exp \left(S_{i j}^{(t-1)}\right)}{K^{(t-1)}}} \right), \text { if } j \text { in } \mathbb{N}_{i}^{v} \\\sum\limits_{v=1}^{V} \lambda^{v}\left({\large \frac{n \exp \left(S_{i j}^{(t-1)}\right)}{K^{(t-1)}}} \right), \text { otherwise }\end{array}\right.\quad\quad\quad(11)$

然后采用 Adam 优化策略来更新 $S$。为了提高收敛速度，我们用 $S^{*}$ 初始化 $S$，其中 $S^{*}$ 是 $\text{Eq.5 }$ 的解。

固定 $S$ , 优化 $\lambda^{v} $：

对于每个视图 $v$，我们定义了 $M^{v}=\left\|H^{v \top}-H^{v \top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha \mathcal{J}$。然后，将损失函数简化为

$\underset{\lambda^{v}}{\text{min}} \sum\limits _{v=1}^{V} \lambda^{v} M^{v}+\sum\limits_{v}^{V}\left(\lambda^{v}\right)^{\gamma}\quad\quad\quad(12)$

通过将它的导数设为零，我们得到

$\lambda^{v}=\left(\frac{-M^{v}}{\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\quad\quad\quad(13)$

我们交替优化 $S$ 和 $\lambda^{v}$ 直到收敛。完整的过程在 Algorithm 1 中概述。

3 Experiments

3.1 Datasets and Metrics

数据集

评价指标

- Accuracy (ACC)
- normalized Mutual Information (NMI)
- Adjusted Rand Index (ARI)
- F1 score

3.2 Results

结果分析

- 与单视图的 GAE 方法相比，MCGC 在ACM、DBLP、IMDB上的ACC改善效果分别提高了 9%、4%、19%以上，虽然使用深度神经网络，但它不能探索视图的互补性；
- 与 PMNE 相比，ACC、NMI、ARI、F1 平均提高了 16%、20%、20%、12% ；
- 对 LINE、RMSC、SwMC的改善更为显著。这可以归因于在MCGC中对特征信息和结构信息的探索；
- 尽管O2MA、O2MAC和MAGCN都捕获了属性和结构信息，但MCGC的性能仍然大大优于它们。具体来说，MCGC 在 ACC、NMI 和 F1 上的 O2MAC 性能平均分别提高了近 6%、9%、11%。关于 MAGCN，所有指标的改进都超过了20%。与基于学习的对比方法相比，我们的改进也令人印象深刻；
- 特别是，与 COMPLETER 相比，在 Amazon 数据集上的改进超过了 30%，这说明 MCGC 受益于图结构信息。MCGC 还将 MVGRL 的性能提高了20%。通过比较 MCGC 和 MCGC* 的结果，我们可以看到选择邻居的策略确实对性能有影响；

4 Ablation Study

4.1 The Effect of Contrastive Loss

验证 Contrastive regularizer 的有效性：

- 在所有数据集上，没有对比损失导致性能急剧下降。MCGC 在 DBLP、ACM、IMDB、Amazon 数据集上的 ACC 性能分别提高了16%、8%、5% 和 12% ；

4.2 The Effect of Multi-View Learning

为了演示多视图学习的效果，本文评估了以下单视图模型的性能

$\underset{S}{\text{min}}\left\|H^{\top}-H^{\top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha \sum\limits _{i=1}^{N} \sum\limits_{j \in \mathbb{N}_{i}}-\log \frac{\exp \left(S_{i j}\right)}{\sum_{p \neq i}^{N} \exp \left(S_{i p}\right)}\quad\quad\quad(14)$

结果分析：

- 可以观察到，当合并所有视图时，总是能达到最佳的性能。此外，不同视图的性能有很大差异。这就证明了在 $\text{Eq.7}$ 中使用 ${\lambda}^{v}$ 的必要性。因此，探索多视角信息的互补性是有益的；

4.3 The Effect of Graph Filtering

为了理解 graph filtering 的贡献，本文进行了另一组实验。如果没有 graph filtering ，我们的目标函数就变成了

$\underset{S, \lambda^{\nu}}{\text{min}} \sum\limits_{v=1}^{V} \lambda^{v}\left(\left\|X^{v \top}-X^{v \top} S\right\|_{F}^{2}+\alpha \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j \in \mathbb{N}_{i}^{v}}-\log {\large \frac{\exp \left(S_{i j}\right)}{\sum\limits_{p \neq i}^{N} \exp \left(S_{i p}\right)}} \right)+\sum\limits_{v=1}^{V}\left(\lambda^{v}\right)^{\gamma}\quad\quad\quad(15)$