仿射函数python 仿射函数既是凸函数也是凹函数

线性回归系数的标准差和t值和置信区间都是怎么算出来的？它们的意义

sklearn仿射函数python的LinearRegression类不提供题主说的置信区间的功能仿射函数python，整个sklearn也没有这个功能。想要求出预测的置信区间有两种可选的办法：

自己编程实现置信区间的功能；转而使用基于python的statsmodels模块仿射函数python，这个模块可以提度供置信区间仿射函数python，P值等统计方面的指标分析。

sklearn的面向对象是机器回学习的使用者，这里面的大多数人来自计算机领域，更关心模型的预测性能，而不太关心模型的统计指标分析。statsmodels则兼顾模型的预测性和可解释性。

扩展资料：

在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。

像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X和y的联合概率分布（多元分析领域）。

参考资料来源：百度百科-线性回归

相关问答

Q1: Convex functions

说完了凸集，下一个要将仿射函数python的肯定就是凸函数啦~

凸函数的相关性质在优化中的地位不言而喻~！

是凸函数，如果 的定义域是凸集，并且 成立：

如果 时上面的不等号严格成立，那么就说这个函数是 严格凸 的。

几何上看，凸函数要求 和 这条线段位于函数图形的上方。

对应的，仿射函数python我们还有定义“凹函数”，当 是凸函数时， 被称为凹函数。

对于仿射函数，它是既凸又凹的。同时， 既凸又凹的函数只有仿射函数 。

如果 是凸函数，那么 也是凸函数，反过来的结论也成立。这说明，凸函数限制在任何一条直线上都是凸！凸函数的概念完全可以从欧式空间推广到一般的线性空间，在一般的线性空间上，这条性质成为我们判断凸函数的重要依据。

凸函数还具有良好的分析性质，比如，凸函数在它定义域的相对内点集上是连续的仿射函数python；凸函数的不连续点只可能出现在它的相对边界上。

有时候我们会把一个凸函数的定义域延拓到整个 空间中：

可以证明，这样延拓的凸函数也满足凸函数的定义。（在定义好关于 的运算后）。这样的定义在函数表示上有一定的意义。

可微的凸函数满足一阶条件：

这个不等式揭示了凸函数的局部特性，那就是在一点的切平面是整个函数的 global underestimate 。

如果上面的不等号严格成立，那么这个函数是严格凸的。这里的条件是 充分必要 的。

如果定义在 开凸集 上的二阶可微函数 满足 ，那么 是凸函数。

如果 ，那么 是严格凸的。

关于一阶条件和二阶条件的证明，要用到泰勒展开。在此从略。

定义 的 为：

易证 是凸函数的时候 是个凸集。

从而这里给出了判断凸集的另一个方法：能被写成某个凸函数的 -sublevel set 的集合是凸集。反之，一个函数的 sublevel set 是凸的，并不能反推出它是凸函数（事实上这个函数是拟凸的）。

对于 是凹函数有相应的结论： 是凸集。

一个函数的 的 epigraph 是指：

是 的子集，是函数图形的上方。 是凸集当且仅当 是凸函数。 所以 epigraph 也是一种主要的判断凸函数的方法。

对应于凹函数我们定义 hypograph ：

是凸集当且仅当 是凹函数。

琴生不等式是凸函数的重要性质。

对 和 成立：

这是有限个点的情况。该不等式还能扩展到无限和、积分等情况。

 对某些凸函数应用琴生不等式可以得到许多著名的不等式：

比如Holder 不等式：

 在 infinite 的情况下， 对 是凸的，那么 也是凸的。

事实上，绝大多数的凸函数，都能够表示成一族仿射函数的上确界函数，这种方法也是判断凸函数最常用的方法。

透视操作是保持凸（凹）性的。

如果 对 是凸的， 是一个非空凸集，那么 是凸的。

另外，也可以通过 来证明凸性。

定义函数 的共轭函数为： 共轭函数是多个仿射函数的上确界，因此是一定是凸函数。共轭函数的定义域是上确界值有限的 的值。

一些例子：

共轭函数具有鲜明的几何意义：

当 是一元函数的时候，如上图所示， 表示以 为斜率且过原点的直线，与 的图像的最大距离（或者其负数）。

当 是 元函数的时候， 表示以 为法向量（n+1维）且过原点的平面，与 的图像的最大距离（或者其负数）。

非空集合 的示性函数（ indicator function ） 定义为： 的共轭函数是支撑函数 ：

设 代表 中的一种范数，其对偶范数为 ，我们能得到共轭函数：

根据共轭函数的定义，下式是显然的：

应用到上面的例子，还能得到：

如果 是凸函数，并且 是闭集，那么 。

如果 是凸函数并且一阶可微，那么根据凸函数的极值理论，容易得到，使得 最大的 满足：

从而我们有：

欲求 ，只需要解 得到向量

如果 ，且 都是凸函数，那么：

 拟凸函数就是 所有下水平集是凸集 的函数。比如 就不是凸函数，但是是拟凸的。

 很多凸函数具有的良好性质，可以推广到拟凸函数上。

 一个定义在凸集上的函数是拟凸函数， 当且仅当 , ，成立：

 这意味着，线段上的函数值，一定小于等于两个端点函数值最大的那一个。这个既可以当做拟凸函数的性质，也能当做拟凸函数的定义。（关于两种定义等价性的证明，看 这里 ）

针对这个性质还有另一个版本：

来看一些例子。

 类似于凸函数，当函数可微时，可以推导出拟凸函数需要满足的一阶条件和二阶条件。

该条件也有鲜明的几何意义。 导出了过点 的对下水平集 的支撑超平面。（高维情况很难想象，不妨考虑一维情况，这时候支撑超平面就退化为一个点，下水平集是一个区间）

 虽然拟凸函数和凸函数在一阶条件上具有相似性，但是拟凸函数并不能用一阶条件来判断全局的最小值。当 时， 不一定是 global minimizer .

 这个条件，意味着 在 是半正定的，同时 至多有一个负特征值。（ 是一维的，从而 是 维的）

 简单讲， ，并且 是凹函数，那么 就称为对数凹的。

 对数凹还可以用 来定义。从这里看，凸函数可以视作一种“算术平均”，对数凸则是“几何平均”。

  为什么要研究对数凸/凹函数呢？

 统计学中的似然函数，是一个经常要取对数的函数， 欲求参数的极大似然估计值，其实就是一个关于似然函数的优化问题 ，如果似然函数是对数凹的，那么求对数似然函数负值的最小值，就是一个凸优化问题！这是研究对数凹函数的目的所在。

事实上，很多常见的概率分布函数，都是对数凹的。

如果 具有良好的光滑性，通过 的凹凸性，我们可以得到一些关于 的性质：

因为：

于是可以得到 对数凹的一个充要条件：

在一元函数的情况，就是： 。

 此外，对数凸/凹性是对乘法保持封闭的。从 容易看出。如果概率密度函数是对数凹的，那么多个密度函数相乘的结果也是对数凹的。

通过前面提到的广义不等式，可以定义函数的“单调递增”和“严格单调递增”。

例子：

Q2: 什么是仿射函数

仿射函数即由由1阶多项式构成仿射函数python的函数仿射函数python，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 和 b 都是一个 m 向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。

设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中Ai可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。

其中的特例是，标性（值）函数f(x)=ax+b，其中a、x、b都是标量。此时严格讲，只有b=0时，仿射函数才可以叫“线性函数”（“正比例”关系）。

就一般情形，函数f是仿射函数的充要条件是：对于任意两组向量x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn，对于任意0=p=1，如果f[px1+(1-p)y1,px2+(1-p)y2,…,pxn+(1-p)yn]==pf(x1,x2,…,xn)+(1-p)f(y1,y2,…,yn)。（“==”表示恒等）

一般称线性组合“p1x1+p2x2+…+pnxn，其中p1+p2+…+pn=1”为仿射组合仿射函数python；一般称所有pi=0的仿射组合为凸组合。

其实一般意义上的仿射函数是一个矩阵函数,如果构成一个类似LMI的不等式,可以成为仿射矩阵不等式.

Q3: 入基变量可以是负数吗?

一般模型既有不等式约束，也有等式约束；既有非负的约束决策变量，也有整个实数域上的自由决策变量。

标准模型

引入冗余的决策变量，使得不等式约束转化为等式约束。这里的每个决策变量都具有非负性。

在这里插入图片描述

把上述模型用矩阵表示就是

m i n ( o r m a x ) C T X s . t A X = b ⃗ X ≥ 0 min(or\ max) C^TX\\ s.t \ AX=\vec{b}\\ \ X \geq 0

min(or max)C

T

X

s.t AX=

b

X≥0

线性规划问题的基本假设

系数矩阵A的行向量线性无关。

如果线性相关有2种可能，要么是增广矩阵的该行也线性相关，则该行约束冗余，可以删去。要么增广矩阵的该行线性无关，则方程无解，优化问题不存在。

系数矩阵A的行数小于列数

如果行数m大于列数n，则行向量是m个n维向量，不可能线性无关。吐过行数等于列数，且行向量线性无关，则约束条件确定了唯一解，无需优化。

一般模型与标准模型的转化

主要方式是增加决策变量。有两种情况需要增加

不等式变等式，每个不等式增加一个决策变量。

1个自由决策变量转化为2个约束的决策变量。

在这里插入图片描述

线性规划问题解的可能情况

唯一最优解

没有有限的最优目标函数

没有可行解

无穷多的最优解（一维问题中不会出现）

凸集

Def. 凸集：该集合中任意两个元素的凸组合仍然属于该集合。

在这里插入图片描述

注：此处的α \alphaα不能是0或1。

Thm. 线性规划的多面体模型是凸集。

Def. 凸集的顶点：顶点无法表示成集合中其他元素的凸组合。

在这里插入图片描述

顶点的等价描述

从系数矩阵中抽取m列线性无关的列向量，组成可逆方阵。则由此可求得m个决策变量的值，再令其余的决策变量为0即可。

推论

顶点中正分量对应的系数向量线性无关。

一个线性规划问题标准模型最多有C n m C_{n}^{m}C

n

m

个顶点。

定义总结

基矩阵§：系数矩阵中抽取m列线性无关的列向量组成可逆方阵。

基本解：m个基变量有基矩阵和b ⃗ \vec{b}

b

决定，剩余(n-m)个变量都置0，称之为非基变量。

基本可行解（顶点）：基本解中可行的，即满足非负性约束

Thm. 线性规划标准模型的基本可行解就是可行集的顶点。

Thm. 标准模型的线性规划问题如有可行解，则定有基本可行解。

Thm. 线性规划标准模型中顶点的个数是有限的。

Thm. 线性规划标准模型的最优目标函数值如果有有限的目标函数值，则总在顶点处取到。

单纯形法

在顶点中沿着边搜索最优解的过程。

按照上述的原理，我们固然可以求出所有的基矩阵，进入求出所有的顶点。计算每一个顶点的目标函数值，找出其中最大的那个，但是这样做的计算量未免太大，因此有了单纯行法，即沿着边搜索顶点。

在这里插入图片描述

单纯形法就是一个不断的选择变量入基出基的过程。

假定已知一个基本可行解。（问题4）

如何计算选定进基变量后的基本可行解。(问题1）

如何选择进基变量使得目标函数值改善。（问题2）

如何判断已经找到最优的目标函数值。（问题3）

计算选定进基变量的基本可行解

Def. 基本可行解的表示式：基变量只出现在一个等式约束中。如：

在这里插入图片描述

此处的x 3 , x 4 , x 5 x_3,x_4,x_5x

3

,x

4

,x

5

就是基变量。

选定出基变量：保可行性的最小非负比值原理

由上所述，一个顶点对应一个基本可行解，其中m个基变量，(n-m)个非基变量。假定我们要选择某个非基变量x i x_ix

i

入基，实际上就是通过对增广矩阵做初等行变化使得x i x_ix

i

仅仅出现在一个等式约束中。比如我们通过变换，使得x i x_ix

i

仅仅出现在第j个等式约束中，如果此时仍然满足可行性，那么x i x_ix

i

就取代了原来在此处的基变量，成为新的基变量。

在进行初等行变换的过程中，要保证可行性，即

b ⃗ ≥ 0 \vec{b} \geq 0

b

≥0

。因此要选择最小非负比值。请看下面的例子：

在这里插入图片描述

假设我们要选择x 2 x_2x

2

入基，那么就是要通过初等行变换，使得x 2 x_2x

2

的系数向量中某一行是1，其余行都是0。如我们选择x 2 x_2x

2

仅出现在第3个等式约束中，即

在这里插入图片描述

则此时无法保证可行性，因为b ⃗ \vec{b}

b

中第1个分量是负数。

为了避免等式右侧出现负数，只能选择比值最小的一行，即第1行。即化成如下的形式：

在这里插入图片描述

如果此时我们想让x 3 x_3x

3

入基，此时的最小比值是第2行，即让该行为1，其余行为0。但是，为了让x 3 x_3x

3

的第二行为1，该行两端必须同时乘以一个负数，此时仍然无法保证b ⃗ ≥ 0 \vec{b} \geq0

b

≥0，因此只能选择系数非负的一行。

注：这里的非负性是指系数非负，而不是比值非负。即当b中某行分量是0，而该行入基变量系数是负数，仍不能入基。

在这里插入图片描述

特殊情况：没有非负比值，即没有有限的目标函数值。

在这里插入图片描述

选择入基变量的原则

选择某个入基变量使得目标函数能改善，通过检验数选择。

此处假设优化目标是求最大值。通过等式约束，将目标函数表示成非基变量的线性组合。即

f ( X ) = c 1 x j ( m + 1 ) + c 2 x j ( m + 2 ) + . . . + c n x j ( n ) + c o n s t f(X)=c_1x_{j(m+1)}+c_2x_{j(m+2)}+...+c_nx_{j(n)}+const

f(X)=c

1

x

j(m+1)

+c

2

x

j(m+2)

+...+c

n

x

j(n)

+const

只有选择检验数是正数的变量入基才有可能使得目标函数继续增大，因为入基之后变量只可能增大或者不变，而不可能减少。

如何确定已经找到了最优的目标函数值

此处假设优化目标是求最大值。

当每个非基变量的检验数都是负数时，目标函数已经达到了最大值。

退化情况

Thm. 收敛条件：每次迭代过程中，每个基本可行解的基变量都严格大于0，则每次迭代都能保证目标函数严格增加。而基本可行解的数目是有限的，因此上述过程不会一直进行下去，因此一定能在有限次迭代过程中找到最优解。

Def. 退化情况：某些基变量是0。则多个基矩阵对应同一个退化的顶点。

Thm. 循环迭代导致不收敛：多个基矩阵对应一个顶点，即每次出基入基都换了基矩阵，但是对应的退化顶点不变，即目标函数也不变。因此可能出现在几个基矩阵之间循环不止的情况。

避免退化：由于顶点的个数是有限的，我们只需标记那些已经迭代过的顶点，即可避免循环。

**bland法则：**始终选择下标最小的可入基和出基的变量。

当所有的基变量都严格大于0时，则这个基矩阵对应于非退化的顶点，此时可行基矩阵和顶点是一一对应的；

当某些基变量为0时，则这个基矩阵对应退化的顶点，一个退化的顶点对应数个可行基矩阵。

即给定一个可行基矩阵，一定能确定一个顶点，但是给定一个顶点时，其对应的基矩阵可能不唯一。

更一般地说，当顶点非退化时，可行基矩阵唯一；否则可行基矩阵不唯一。

如何确定初始的基本可行解

先将一般模型转化为标准模型，然后添加人工变量，在迭代过程中将人工变量都变成非基变量，则基变量就只剩下原来的变量。

在这里插入图片描述

大M法在这里插入图片描述

两阶段法

在这里插入图片描述

例题

本质就是不断的迭代单纯型表

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

一般线性规划问题总结

一般模型转化为标准型

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

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在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

基于单纯型表迭代的实质

求出非基变量的检验数

σ j ( k ) = c j ( k ) − C B T B − 1 P j ( k ) m + 1 ≤ k ≤ n \sigma_{j(k)}=c_{j(k)}-C_{B}^{T}B^{-1}P_{j(k)}\ m+1 \leq k \leq n

σ

j(k)

=c

j(k)

−C

B

T

B

−1

P

j(k)

m+1≤k≤n

确定进基变量

σ j ( t ) = m a x { σ j ( m + 1 ) , σ j ( m + 2 ) , . . . σ j ( n ) } \sigma_{j(t)} = max\{\sigma_{j(m+1)},\sigma_{j(m+2)},...\sigma_{j(n)}\}

σ

j(t)

=max{σ

j(m+1)

,σ

j(m+2)

,...σ

j(n)

}

确定出基变量

在这里插入图片描述

得到新的可行基矩阵

在这里插入图片描述

基于逆矩阵的单纯形法

在这里插入图片描述

核心问题：如何基于B − 1 B^{-1}B

−1

计算出B − 1 ~ \tilde{B^{-1}}

B

−1

~

。这两个矩阵仅仅有1列不一样，这是一个线性代数问题，与本课程的主要内容无关，此处不再赘述。

总结：单纯形法中可能遇到的3中特殊情况。

1. 退化问题：某些基变量为0

退化问题的现象是某些基变量为0，本质是一个退化的顶点对应多个可行基矩阵，后果是可能使得单纯形法不收敛。

在选择入基变量时，应该遵循blend法则，即每次选择可入基变量下标最小的那个。

2. 没有最小非负比值。

当选定入基变量后，需要根据“保证可行性的最小非负比值原理”选定出基变量，如果没有非负比值，则说明该变量可以趋于无穷，则该问题没有有限的最优目标函数值。

3. 某个非基变量的检验数为0.

在选择入基变量时，需要将目标函数表示成非基变量的表达式。以目标值是求最大问题的为例，此时应该选择检验数大于0的非基变量入基才能改善目标函数值。

当所有非基变量的检验数都为小于等于0的时候，无论选择谁入基，都会值得目标函数变得更差，因此这时候就达到了最优条件。

有一种特殊情况是某个非基变量的检验数为0，如果选取该变量入基，则目标函数值和原来一样，但是我们得到另一组不同的基本可行解，即最优目标函数值对应了多个基本可行解，这说明原问题有无穷多最优解。

4. 退化问题和非基变量检验数为0.

前者是一个顶点对应多个可行基矩阵，后者是最优目标函数值对应多个顶点。

前者可能导致单纯形法不收敛，后者说明该问题有无穷多解。

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线性规划与非线性规划的求解

单纯形法求解线性规划 一、大M法求解线性规划的原理 （1）、大M法首先将线性规划问题化为标准型。如果约束方程组中包含有一个单位矩阵I，那么已经得到了一个初始可行基。否则在约束方程组的左边加上若千个非负的人工变量，使人工变量对应的系数列向量与其它变量的系数列向量共同构成-一个单位矩阵。以单位矩阵为初始基，即可求得一-个初始的基本可行解。 为了求得原问题的初始基本可行解，必须尽快通过迭代过程把人工变量...

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热门推荐 线性规划算法详解

线性规划 首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。 举个例子： M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为...

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运筹学 —线性规划总结

线性规划问题 1. 概述 线性规划问题是在一组线性约束下，求资源配置的最大最小值的问题。 直观的变现是在一个约束条件围成的区域上寻找一个点，这个点使得资源配置最优化： 2. 线性规划的思想 线性规划的思路是将不等式转换为等式，最终求得一个满足等式的解。 下面的约束式必然可以转换为[P|N]*X=B的形式，这里P是线性无关的M*M的方正。

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最优化——退化和某个非基变量检验数为零

文章目录退化和某个非基变量检验数为零退化问题退化问题的本质某个非基变量检验数为零 退化和某个非基变量检验数为零 退化问题 基本可行解的基变量数值等于0。 退化问题的本质 多个可行基阵对应于一个基本可行解。 某个非基变量检验数为零 对于求max的线性规划问题，如果所有检验数均满足 则说明已经得到最优解， 若此时某非基变量的检验数为零 ，则说明该优化问题有无穷多最优解。 ...

仿射函数python的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于仿射函数既是凸函数也是凹函数、仿射函数python的信息别忘了在本站进行查找喔。