em函数python python emd

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相关问答

Q1: （十）EM算法

 EM算法em函数python的英文全称是 Expectation Maximization Algorithm——期望极大化算法 em函数python，它采用迭代的方式逼近带隐变量的似然函数。通过对似然函数的一个下界求偏导，得到每一步参数估计的过程。

 这个名称由于缺乏作用对象，让人一头雾水。这里的期望是什么？为什么em函数python我们要极大化这个期望，我们试图优化什么？

 这里的期望的含义其实是针对 极大似然估计 中的 似然函数 来说的，这里的期望就是似然函数的一个 下界 ，我们的目的是求这样一个期望: 这个下界是根据 詹森不等式(Jensen's inequality） 放缩得到的，为什么要放缩呢？因为我们试图找出一个下界，极大化这个带参数的下界之后，可以无限近似于似然函数。你想，如果这个做法ok的话，意味着什么？意味着我们可以通过这个过程找出极大似然估计或最大后验估计的参数近似解。这也意味着我们可以搞一个迭代法来得到一个近似解。但是即便我说的天花乱坠，这个下界要是不收敛那也白搭。而下界要收敛必须满足两个条件em函数python：

 1.这个下界的取值要单调递增（因为每回迭代的结果要比上一次的取值更大）

 2.这个下界必须有上界(这个上界就是对数似然函数，且这一点可以由詹森不等式保证，这个也是EM的核心)

大白话就是 单调有界必有极限 。

我们来证明一下它确实是收敛的。

 首先，在极大似然估计中，我们的目的是根据手头上的 个样本，最大化 后，将参数 估计出来；引入对数： ;此时引入辅助变量 ;我们的对数似然函数就变成了：

设置变分函数： ;那么：

根据琴生不等式,对数函数为凸函数(因为 ：等号在 为常数时取到)：

上面的这个下界，就是用来逼近原对数似然函数的，这里我们已经证明了算法收敛的一个条件， 有界性 ；但是在继续进行下一步的时候，我们还有一个问题没搞清楚，那就是变分函数 的具体形式,实际上，我们可以通过琴生不等式等号成立的条件导出我们要的这个变分函数q。

令 为常数：

接着我们代入变分函数 的形式，定义这个下界的第一项：

定义下界的第二项：

对于第二项，我们看看随着迭代步数的增大，它是否是递增的，

我们将不同参数的 与 看作是两个分布，那么这个结果实际上是一个KL散度，它表征两个分布的相似度,其结果总是大于等于0的。

大于等于0的原因：

所以：

H为一个递增的序列，那么剩下的就是Q是否递增了，基于前面提到的这个下界是有上界的，上界就是我们的对数似然函数。在这个前提下，现在我们只要证明，Q递增是整个下界递增的充分必要条件即可。

必要性：

当整个下界递增，即：

那么：

所以 单调递增，必要性得证。

充分性：

因为：

前面已经证明：

又因为：

所以：

即，在 递增的情况下，整个下界递增。

充分性得证。

证毕。

 这个算法名称里提及的期望究竟是什么？

我们说了这么多，实际都是要做一件事，那就是：

由于前面证明过整个下界有界。且只要找到让第i次迭代的Q函数最大的 作为下一次迭代的参数，我们就可以让Q递增，让算法收敛。

我们来看看Q的形式。

这就是为什么叫期望最大算法的原因。

 我们以概率PCA，来展开EM的应用：

 当然这里的应用只涉及变分函数已知情况下的应用，并不涉及广义EM的内容，日后看完文献在来唠唠广义EM，AVE，GAN等内容。

 我们先来算一下PPCA的EM期望的形式：

在 概率PCA 中，我们有提到：

所以：

所以期望里面是这个式子：

我们的目的是要估计出 和 ;那么我们分别对它们求偏导:

所以：

因为：

代入偏导中

所以：

我们偏导得到的结果就是：

我们会发现我们还有两个估计量没解决，一个是一阶估计量 ,另一个是二阶估计量

在概率PCA中，我们提到过：

那么我们就有了一阶估计量：

二阶估计量可以通过简单的计算得到：

剩下的代入即可.

结果展示：

Q2: 数据挖掘十大经典算法之EM

EM（Expectation-Maximum）算法也称期望最大化算法，它是最常见的隐变量估计方法，在机器学习中有极为广泛的用途，例如常被用来学习高斯混合模型（Gaussian mixture model，简称GMM）的参数em函数python；隐式马尔科夫算法（HMM）、LDA主题模型的变分推断等等。

EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，其中一个为期望步（E步），另一个为极大步（M步），一轮轮迭代更新隐含数据和模型分布参数，直到收敛，即得到我们需要的模型参数。

1. EM算法推导过程

补充知识em函数python：Jensen不等式：

如果f是凸函数，函数的期望 大于等于 期望的函数。当且仅当下式中X是常量时，该式取等号。（应用于凹函数时，不等号方向相反）

2. EM算法流程

3. EM算法的其他问题

上面介绍的传统EM算法对初始值敏感，聚类结果随不同的初始值而波动较大。总的来说，EM算法收敛的优劣很大程度上取决于其初始参数。

EM算法可以保证收敛到一个稳定点，即EM算法是一定收敛的。

EM算法可以保证收敛到一个稳定点，但是却不能保证收敛到全局的极大值点，因此它是局部最优的算法，当然，如果我们的优化目标是凸的，则EM算法可以保证收敛到全局最大值，这点和梯度下降法这样的迭代算法相同。

EM算法的简单实例：

参考：

Q3: python中哪个库有em算法

EM算法初稿2016-4-28

初始化三个一维em函数python的高斯分布

from numpy import *

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import copy

def init_em(x_num=2000):

Q4: EM算法详解

作为N大机器学习方法的一员，EM算法在各种书籍、博客、网上视频上被描述或者介绍，每次看完总感觉很多地方含糊不清，不能让一个初学者（有一定统计概率基础）接受。最近再B站上，看到 徐亦达老师的课程 ，EM算法这块讲解易于理解和接受，再结合PRML一书的关于混合模型和EM章节内容，对整个EM算法从具体的原理上面有了更深入的理解。

在下文中，更多的是通过公式推导和一些文字说明来梳理EM算法，尽量做到大家一看就明白。

极大似然估计是概率统计中，估计模型参数的一种方法，如果对似然概念以及极大似然估计的概念不理解，可参考维基百科

这里，我们给出一个一维高斯函数的例子。如图1所示，一维空间里面离散分布的样本点其分布特点可以看成是一种高斯分布。那这些样本的高斯分布函数参数怎么求解呢？可以通过极大似然估计获得。

假设我们获取图1中数据样本集合为 ，其分布函数假设为一维高斯分布，即：

那所有数据的联合概率,即似然函数为：

对等式两边求log，即log-likelihood：

分别对参数求导：

可以得到：

通过上述方法，就可以得到基于样本数据和假设分布函数模型情况下，得到样本数据的分布函数。

从图2所示中，如果样本数据分布式蓝色点和橙色点的集合，如果依然用高斯分布去进行最大似然估计，得到的分布模型自然是不合适的。很显然，样本数据分布存在两个密集区（蓝色点和橙色点），如果能通过一种方法，确认样本数据里面的蓝色点和橙色点，然后分别对蓝色点集合进行一个高斯估计，对橙色点集进行另外一个高斯估计，两个高斯混合到一起，是不是比单个高斯能更好的匹配样本数据的分布情况。这种情况下的分布函数就是高斯混合模型。

这里我们先直接给出高斯混合模型的分布函数(多维)：

在图2例子中，提到如果给每一个数据样本能够先进行分类，即确定属于哪一个集中的簇中，就能比较容易的进行混合模型的求解。这说明了什么呢？我们可以理解，原始样本数据是不完全的（incomplete），引入一个K维的二值随机变量 ，这个变量采用"1-of-K"的表示方法，即K维中，只有一维是1，其余所有元素等于0。那么每一个样本数据，即有数据特征 ，再匹配一个分配变量 ，就可以将图2过程完整描述，即我们认为 和 联合在一起才是完全的（complete）。

数学表示上，我们利用边缘概率分布 和条件概率分布 定义联合概率分布 .

的边缘概率分布根据混合系数 进行赋值，即 ,使得边缘概率分布是合法，那么：

类似的，在给定 的一个特定的值，即针对某一簇的情况， 的条件概率分布是一个高斯分布，即

那么根据贝叶斯公式得到高斯混合模型：

由于我们只能观察样本数据 ,无法直接获取每个数据的分配变量 ,可理解 为潜在变量（latent）

依据极大似然函数的求解方法，我们可以对高斯混合模型写出数据的对数似然函数：

由于对数函数内部出现求和，这种情况是没有办法通过求导等于0的方式获取估计参数的解析解的。这种情况下，就需要用到EM算法，通过迭代方式获取估计参数。下面我们先从一般性问题上进行EM算法的理论描述，然后再利用EM算法推导高斯混合模型的计算方法。

EM算法叫做期望最大化方法，首先我们给出EM算法一般性结论或者说步骤，其具体分为两步，即E-step和M-step。

EM算法的步骤，通过高斯混合模型可以直观理解记忆。 是什么意思呢，其含义是在给定数据样本的情况下，潜在变量的概率情况。也就是说在高斯混合模型中，给定样本数据，我们推测样本属于哪一个高斯簇的概率情况。在确定分配情况后，每一个簇都用高斯进行估计，衡量估计好还是不好，用期望形式表示。这样可以帮助理解和记忆Q的定义。那EM算法怎么证明其收敛性呢？

我们要保证：

这样每次迭代可以使得似然函数随着参数变大，一直到似然函数不再增大或满足其他终止条件止。

那怎么保证呢？首先，利用贝叶斯公式有：

两边同时取log

然后两边同时用 求期望，可以得：

等式左边 和 没有关系， 是概率密度函数，积分是1，所以等式左边依然是 .

等式右边第一项就是E-step里面的Q函数，第二项我们记做H函数，则：

要保证 ，首先 ，那么是不是保证 满足，就一定有 ？答案是肯定的。（说明一下，这里面的H和Q函数都是关于 的函数，每一次迭代 是已知的，他不是变量）

那下面只要证明 就可以了。

因此可以得到 ，则整个EM算法的收敛性证毕。

注：这里用到了Jessian不等式，如果函数是convex的，则有函数的期望大于期望的函数，即 .

上述EM算法的证明，有一些技巧性，而这些技巧性有没有一种是在已知结论基础上硬凑的感觉呢，尤其是用 去求期望，就是为了去构造Q函数。那有没有更好的解释或者更为直观的方式来得到相同的结论呢？答案是有的。

首先，仍然用到：

我们稍微变个型，假设一个概率密度函数 :

两边同时用 求期望：

其中等式右边第一项，我们记做 ，可以称为ELOB，EvidenceLowerBound，第二项是 和 的KL散度。

如图4所示，当我固定参数 时候，ELOB就是关于 的泛函（只听过没学过，可理解为函数的函数），那ELOB的上界是什么呢？那首先要理解KL散度，KL散度是衡量两个概率分布之间的差异性，如果两个分布没有差异，则KL散度等于0，如果有差异则大于0，所以KL散度的最小值就是0，那ELOB的上界就是此刻的似然函数。

在EM算法中，当前迭代时，参数 ，则对于E-step，我们需要使得ELOB最大，即KL散度为0，如图5所示，其中 为 。此时，

对于M-Step，我们是需要得到新的估计参数，这个时候，固定 ,重新获得ELOB的最大值，这个时候的ELOB是什么样的呢？

右边第二项没有参数 ，所以固定 最大化ELOB，就等于最大化第一项，而第一项是什么呢？就是 函数。

如图6所示，我们最大化 函数，也就是最大化此次迭代的ELOB。在新的参数下， ，此刻 不变，所以和新的 在没有达到局部（或者全局）极大值的情况下，是两个不同的概率分布，即二者KL散度是大于0的，那此刻的似然函数等于此刻的KL散度加上此刻的ELOB，自然是有 。

从ELOB和KL散度的层面可以更好的理解EM算法的迭代过程。

PRML一书中，有图7所示的示意图，能比较形象的说明，EM算法的迭代过程。

图7中，红色曲线表示(不完整数据)对数似然函数，它的最大值是我们想要得到的。我们首先选择某个初始的参数值 ,然后在第一个E步骤中,我们计算潜在变量上的后验概率分布,得到了 的一个更小的下界，它的值等于在 处的对数似然函数值，用蓝色曲线表示。注意，下界与对数似然函数在 处以切线的方式连接，因此两条曲线的梯度相同。这个界是一个凹函数，对于指数族分布的混合分布来说，有唯一的最大值。在M步骤中,下界被最大化，得到了新的值 ,这个值给出了比 处更大的对数似然函数值。接下来的E步骤构建了一个新的下界,它在 处与对数似然函数切线连接,用绿色曲线表示。以这样的方式不停迭代，直到满足条件。

了解了EM算法，我们来详细推导高斯混合模型的E步和M步的内容。这一部分内容来自徐亦达老师的课件。由于公式太多了，我就放一些截图，供大家一起学习和参考。

徐亦达老师的课件在：

后续关于EM算法的应用会举例以下几方面内容

(1)Kmeans和高斯混合模型

(2)EM算法应用之贝叶斯线性回归

(3)EM算法应用之PLSA

(4)EM算法应用之缺失数据参数估计问题

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