python龙格库塔函数 用龙格库塔方法来求初值问题

四阶龙格库塔法公式

令初值问题表述如下。

y'=f（t，y），y(t0)=y0

其中，k1=f（tn，yn）

k2=f（tn+h/2，yn+hk1/2）

这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

k1是时间段开始时的斜率；

k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值；

k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；

k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。

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相关问答

Q1: 龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程

对于微分方程

通常所说python龙格库塔函数的龙格-库塔法是指四阶而言的python龙格库塔函数，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。 [1]

令 初值问题 表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值（ y n +1 ）由现在的值（ y n ）加上时间间隔（ h ）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是 h 阶 ，而总积累误差为 h 阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（ y 可以是向量）都适用。

显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 [1]

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数 s （级数），以及系数 a ij （对于1 ≤ j i ≤ s ）, b i （对于 i = 1, 2, ..., s ）和 c i （对于 i = 2, 3, ..., s ）。

龙格库塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度为 p 阶，即截断误差为O( h )的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求 b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及 b 2 a 21 = 1/2。

RK4法处于这个框架之内。其表为：

1/2 1/2

1/2 0 1/2

1 0 0 1

_ 1/6 1/3 1/3 1/6

然而，最简单的龙格-库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为

。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为：

_ 1

以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法，一般而言，隐式龙格库塔方法具有以下形式：

其中

在显式龙格库塔方法的框架里，定义参数

的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格库塔方法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：

需要注意的是，与显式龙格库塔方法不同，隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加python龙格库塔函数了计算的成本。

Q2: 龙格库塔法解微分方程组

龙格-库塔（R-K）法的写法：就是不断调用微分方程组，迭代计算出对于K1,K2，...，最后再叠加。需要注意的是高阶微分方程，其原函数的导数也是通过迭代计算得到的

在此归纳了其套用 R-K 法的一般套路：3个函数、3个步骤——这也是MATLAB自带的求解方法的步骤

三个函数：

Fun函数——用于存放一阶微分方程组

RK函数——用于使用几阶的R-K法求数值解，上边我只写了 4阶R-K法

赋初值函数——只是单纯的写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值；以及调用 RK函数

三个步骤：

赋初值：写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值

将高阶微分方程 拆分成 一阶微分方程组

修改 Fun 函数：注意——向量dy的长度，和高阶微分方程的阶次有关

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Q3: python能做什么科学计算

python做科学计算的特点：1. 科学库很全。（推荐学习：Python视频教程）

科学库：numpy，scipy。作图：matplotpb。并行：mpi4py。调试：pdb。

2. 效率高。

如果你能学好numpy（array特性，f2py），那么你代码执行效率不会比fortran，C差太多。但如果你用不好array，那样写出来的程序效率就只能呵呵了。所以入门后，请一定花足够多的时间去了解numpy的array类。

3. 易于调试。

pdb是我见过最好的调试工具，没有之一。直接在程序断点处给你一个截面，这只有文本解释语言才能办到。毫不夸张的说，你用python开发程序只要fortran的1/10时间。

4. 其他。

它丰富而且统一，不像C++的库那么杂（好比pnux的各种发行版），python学好numpy就可以做科学计算了。python的第三方库很全，但是不杂。python基于类的语言特性让它比起fortran等更加容易规模化开发。

数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。

高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。

洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。

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