python感知机函数 感知机使用_______________函数作为其激励函数

感知机算法（Perceptron Learning Algorithm）

感知机（perceptron）是二类分类的线性分类模型，它的思想很简单，就是在一个二维空间中寻找一条直线将红点和蓝点分开（图1），类比到高维空间中，感知机模型尝试寻找一个超平面，将所有二元类别分开（图2）。

如果我们找不到这么一条直线的话怎么办？找不到的话那就意味着类别线性不可分（图3），也就意味着感知机模型不适合你的数据的分类。使用感知机一个最大的前提，就是数据是线性可分的。

如果我们有n个样本，每个样本有m维特征和一个二元输出类别：

感知机的目标是找到一个超平面：

让其中一个类别的样本满足 ,而另一类样本满足

，从而样本线性可分。但这样的超平面并不是唯一的，感知机模型采取不同的初始值（ ）解可能会不同。

我们用相量方式对上式进行表达： ，由此感知机的模型可以定义为：

,其中：

例如：将一个新的样本 带入训练好的模型 ，当   ，  被分为 类。当  ，  被分为 类。

我们将满足 的样本类别输出值取 ，满足 的样本类别输出值取 。从而正确分类的样本满足 ，而错误分类的样本满足 。损失函数的优化目标是使所有被错误分类的样本到超平面的距离之和最小。

一个被错误分类的样本 ， ，到超平面的距离是 ，

其中    。 为超平面的法向量， 的大小变化并不会影响样本点到超平面的距离。我们令 ，并且假设所有错误分类的点的集合为M，则所有错误分类的样本到超平面的距离之和为：

最终构建的损失函数为：

感知机模型选择的是采用随机梯度下降，这意味着我们每次仅仅需要使用一个误分类的点来更新梯度。损失函数 的梯度如下：

随机选取一个错误分类点 ，对 进行更新：

式中 为初始值， 是步长（learning rate）。通过这样迭代可以使损失函数 不断减小，直到为0。

感知机模型的优化方法可以通俗的解释为：当一个样本被错误分类，即位于分类超平面的错误一侧时，则调整 的值，使分类超平面向该错误分类点的一侧移动，以减少该错误分类点与超平面间的距离，直至超平面越过该错误分类点，最终被正确分类。

上一节的感知机模型的算法形式我们一般称为感知机模型的算法原始形式。对偶形式是对算法执行速度的优化。对偶形式的基本想法是将 表示为样本 和标签 的线性组合，通过求解其系数而求得 。我们取初始值 为 ，选取错误分类样本 对 进行更新有：

假设为了将样本 正确分类而更新 的次数为 ，每一个样本 的 的初始值为 ，每当次样本在某一次梯度下降迭代中因误分类而更新时， 的值 ，则 关于 的增量分别为 和 。则用所有样本对 进行更新，最后得到的 可以表示为

的通俗解释：如果 的值越大，那么意味着样本 经常被误分。很明显离超平面很近的点，当超平面稍微移动一点点， 的类别就发生变化。

我们用 的等价形式  来判断错误分类。上式中 表示的是两个样本的内积，而且这个内积的结果在更新 的过程中会多次使用。如果我们事先用矩阵运算计算出所有的样本之间的内积，那么在算法运行时， 仅仅一次的矩阵内积运算比多次的循环计算省时。 计算量最大的判断误分类这儿就省下了很多的时间，这也是对偶形式的感知机模型比原始形式优的原因。

样本的内积矩阵称为Gram矩阵，它是一个对称矩阵，记为

例如： , , 则Gram矩阵为

                  

   G=      =   

                    

以上为建立感知机模型的相关理论知识，如果有需要用python建立感知机模型进行分类的小伙伴的可以上访问我的github：

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相关问答

Q1: python 8个常用内置函数解说

8个超好用内置函数set（），eval（），sorted（），reversed（），map（），reduce（），filter（），enumerate（）

python中有许多内置函数，不像print那么广为人知，但它们却异常的强大，用好了可以大大提高代码效率。

这次来梳理下8个好用的python内置函数

1、set()

当需要对一个列表进行去重操作的时候，set()函数就派上用场了。

用于创建一个集合，集合里的元素是无序且不重复的。集合对象创建后，还能使用并集、交集、差集功能。

2、eval()之前有人问如何用python写一个四则运算器，输入字符串公式，直接产生结果。用eval()来做就很简单：eval(str_expression)作用是将字符串转换成表达式，并且执行。

3、sorted()在处理数据过程中，我们经常会用到排序操作，比如将列表、字典、元组里面的元素正/倒排序。这时候就需要用到sorted() ，它可以对任何可迭代对象进行排序，并返回列表。对列表升序操作：

对元组倒序操作：

使用参数：key，根据自定义规则，按字符串长度来排序：

根据自定义规则，对元组构成的列表进行排序：

4、reversed()如果需要对序列的元素进行反转操作，reversed()函数能帮到你。reversed()接受一个序列，将序列里的元素反转，并最终返回迭代器。

5、map()做文本处理的时候，假如要对序列里的每个单词进行大写转化操作。这个时候就可以使用map()函数。

map()会根据提供的函数，对指定的序列做映射，最终返回迭代器。也就是说map()函数会把序列里的每一个元素用指定的方法加工一遍，最终返回给你加工好的序列。举个例子，对列表里的每个数字作平方处理：

6、reduce()前面说到对列表里的每个数字作平方处理，用map()函数。那我想将列表里的每个元素相乘，该怎么做呢？这时候用到reduce()函数。

reduce()会对参数序列中元素进行累积。第一、第二个元素先进行函数操作，生成的结果再和第三个元素进行函数操作，以此类推，最终生成所有元素累积运算的结果。再举个例子，将字母连接成字符串。

你可能已经注意到，reduce()函数在python3里已经不再是内置函数，而是迁移到了functools模块中。这里把reduce()函数拎出来讲，是因为它太重要了。

7、filter()一些数字组成的列表，要把其中偶数去掉，该怎么做呢？

filter()函数轻松完成了任务，它用于过滤序列，过滤掉不符合条件的元素，返回一个迭代器对象。filter()函数和map()、reduce()函数类似，都是将序列里的每个元素映射到函数，最终返回结果。我们再试试，如何从许多单词里挑出包含字母w的单词。

8、enumerate()这样一个场景，同时打印出序列里每一个元素和它对应的顺序号，我们用enumerate()函数做做看。

enumerate翻译过来是枚举、列举的意思，所以说enumerate()函数用于对序列里的元素进行顺序标注，返回(元素、索引)组成的迭代器。再举个例子说明，对字符串进行标注，返回每个字母和其索引。

Q2: 原来ReLU这么好用！一文带你深度了解ReLU激活函数！

在神经网络中，激活函数负责将来自节点的加权输入转换为该输入的节点或输出的激活。ReLU 是一个分段线性函数，如果输入为正，它将直接输出，否则，它将输出为零。它已经成为许多类型神经网络的默认激活函数，因为使用它的模型更容易训练，并且通常能够获得更好的性能。在本文中，我们来详细介绍一下ReLU，主要分成以下几个部分：

1、Sigmoid 和 Tanh 激活函数的局限性

2、ReLU（Rectified Linear Activation Function）

3、如何实现ReLU

4、ReLU的优点

5、使用ReLU的技巧

一个神经网络由层节点组成，并学习将输入的样本映射到输出。对于给定的节点，将输入乘以节点中的权重，并将其相加。此值称为节点的summed activation。然后，经过求和的激活通过一个激活函数转换并定义特定的输出或节点的“activation”。

最简单的激活函数被称为线性激活，其中根本没有应用任何转换。 一个仅由线性激活函数组成的网络很容易训练，但不能学习复杂的映射函数。线性激活函数仍然用于预测一个数量的网络的输出层(例如回归问题)。

非线性激活函数是更好的，因为它们允许节点在数据中学习更复杂的结构 。两个广泛使用的非线性激活函数是 sigmoid 函数和 双曲正切 激活函数。

Sigmoid 激活函数 ，也被称为 Logistic函数神经网络，传统上是一个非常受欢迎的神经网络激活函数。函数的输入被转换成介于0.0和1.0之间的值。大于1.0的输入被转换为值1.0，同样，小于0.0的值被折断为0.0。所有可能的输入函数的形状都是从0到0.5到1.0的 s 形。在很长一段时间里，直到20世纪90年代早期，这是神经网络的默认激活方式。

双曲正切函数 ，简称 tanh，是一个形状类似的非线性激活函数，输出值介于-1.0和1.0之间。在20世纪90年代后期和21世纪初期，由于使用 tanh 函数的模型更容易训练，而且往往具有更好的预测性能，因此 tanh 函数比 Sigmoid激活函数更受青睐。

Sigmoid和 tanh 函数的一个普遍问题是它们值域饱和了 。这意味着，大值突然变为1.0，小值突然变为 -1或0。此外，函数只对其输入中间点周围的变化非常敏感。

无论作为输入的节点所提供的求和激活是否包含有用信息，函数的灵敏度和饱和度都是有限的。一旦达到饱和状态，学习算法就需要不断调整权值以提高模型的性能。

最后，随着硬件能力的提高，通过 gpu 的非常深的神经网络使用Sigmoid 和 tanh 激活函数不容易训练。在大型网络深层使用这些非线性激活函数不能接收有用的梯度信息。错误通过网络传播回来，并用于更新权重。每增加一层，错误数量就会大大减少。这就是所谓的 消失梯度 问题，它能有效地阻止深层(多层)网络的学习。

虽然非线性激活函数的使用允许神经网络学习复杂的映射函数，但它们有效地阻止了学习算法与深度网络的工作。在2000年代后期和2010年代初期，通过使用诸如波尔兹曼机器和分层训练或无监督的预训练等替代网络类型，这才找到了解决办法。

为了训练深层神经网络， 需要一个激活函数神经网络，它看起来和行为都像一个线性函数，但实际上是一个非线性函数，允许学习数据中的复杂关系 。该函数还必须提供更灵敏的激活和输入，避免饱和。

因此，ReLU出现了， 采用 ReLU 可以是深度学习革命中为数不多的里程碑之一 。ReLU激活函数是一个简单的计算，如果输入大于0，直接返回作为输入提供的值；如果输入是0或更小，返回值0。

我们可以用一个简单的 if-statement 来描述这个问题，如下所示:

对于大于零的值，这个函数是线性的，这意味着当使用反向传播训练神经网络时，它具有很多线性激活函数的理想特性。然而，它是一个非线性函数，因为负值总是作为零输出。由于矫正函数在输入域的一半是线性的，另一半是非线性的，所以它被称为 分段线性函数（piecewise linear function ） 。

我们可以很容易地在 Python 中实现ReLU激活函数。

我们希望任何正值都能不变地返回，而0.0或负值的输入值将作为0.0返回。

下面是一些修正的线性激活函数的输入和输出的例子：

输出如下：

我们可以通过绘制一系列的输入和计算出的输出，得到函数的输入和输出之间的关系。下面的示例生成一系列从 -10到10的整数，并计算每个输入的校正线性激活，然后绘制结果。

运行这个例子会创建一个图，显示所有负值和零输入都突变为0.0，而正输出则返回原样：

ReLU函数的导数是斜率。负值的斜率为0.0，正值的斜率为1.0。

传统上，神经网络领域已经不能是任何不完全可微的激活函数，而ReLU是一个分段函数。从技术上讲，当输入为0.0时，我们不能计算ReLU的导数，但是，我们可以假设它为0。

tanh 和 sigmoid 激活函数需要使用指数计算， 而ReLU只需要max()，因此他 计算上更简单，计算成本也更低 。

ReLU的一个重要好处是，它能够输出一个真正的零值 。这与 tanh 和 sigmoid 激活函数不同，后者学习近似于零输出，例如一个非常接近于零的值，但不是真正的零值。这意味着负输入可以输出真零值，允许神经网络中的隐层激活包含一个或多个真零值。这就是所谓的稀疏表示，是一个理想的性质，在表示学习，因为它可以加速学习和简化模型。

ReLU看起来更像一个线性函数，一般来说，当神经网络的行为是线性或接近线性时，它更容易优化 。

这个特性的关键在于，使用这个激活函数进行训练的网络几乎完全避免了梯度消失的问题，因为梯度仍然与节点激活成正比。

ReLU的出现使得利用硬件的提升和使用反向传播成功训练具有非线性激活函数的深层多层网络成为可能 。

很长一段时间，默认的激活方式是Sigmoid激活函数。后来，Tanh成了激活函数。 对于现代的深度学习神经网络，默认的激活函数是ReLU激活函数 。

ReLU 可以用于大多数类型的神经网络， 它通常作为多层感知机神经网络和卷积神经网络的激活函数 ，并且也得到了许多论文的证实。传统上，LSTMs 使用 tanh 激活函数来激活cell状态，使用 Sigmoid激活函数作为node输出。 而ReLU通常不适合RNN类型网络的使用。

偏置是节点上具有固定值的输入，这种偏置会影响激活函数的偏移，传统的做法是将偏置输入值设置为1.0。当在网络中使用 ReLU 时， 可以将偏差设置为一个小值，例如0.1 。

在训练神经网络之前，网络的权值必须初始化为小的随机值。当在网络中使用 ReLU 并将权重初始化为以零为中心的小型随机值时，默认情况下，网络中一半的单元将输出零值。有许多启发式方法来初始化神经网络的权值，但是没有最佳权值初始化方案。 何恺明的文章指出Xavier 初始化和其他方案不适合于 ReLU ，对 Xavier 初始化进行一个小的修改，使其适合于 ReLU，提出He Weight Initialization，这个方法更适用于ReLU 。

在使用神经网络之前对输入数据进行缩放是一个很好的做法。这可能涉及标准化变量，使其具有零均值和单位方差，或者将每个值归一化为0到1。如果不对许多问题进行数据缩放，神经网络的权重可能会增大，从而使网络不稳定并增加泛化误差。 无论是否在网络中使用 ReLU，这种缩放输入的良好实践都适用。

ReLU 的输出在正域上是无界的。这意味着在某些情况下，输出可以继续增长。因此，使用某种形式的权重正则化可能是一个比较好的方法，比如 l1或 l2向量范数。 这对于提高模型的稀疏表示(例如使用 l 1正则化)和降低泛化误差都是一个很好的方法 。

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Q3: 关于神经网络 需要学习python的哪些知识？

最基础python感知机函数的部分的话需要python感知机函数：线性代数python感知机函数，机器学习python感知机函数，微积分，优化等等。

几乎所有操作都有矩阵运算，所以至少最基础的线性代数需要掌握

建议从单一的感知机Perceptron出发，继而认识到Decision Boundary(判别边界),以及最简单的一些“监督训练”的概念等，有机器学习的基础最好。就结果而言，诸如“过拟合”之类的概念，以及对应的解决方法比如L1 L2归一，学习率等也都可以从单个感知机的概念开始入门。

从单层感知器推广到普通的多层感知器MLP。然后推广到简单的神经网络（激活函数从阶跃“软化”为诸如tanh等类型的函数），然后引入特定类型的网络结构，比如最基本的全连接、前向传播等等概念。进而学习训练算法，比如反向传播，这需要微积分的知识（Chain rule）,以及非线性优化的最基础部分，比如梯度下降法。

其次至少需要具备一些适用于研究的编程语言的技能，例如python，matlab，（C++也可行）等，哪怕不自己实现最简单的神经网络而是用API，也是需要一定计算机能力才能应用之。

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