Python编写误差函数 python 误差函数

Python--math库

        Python math 库提供许多对浮点数的数学运算函数，math模块不支持复数运算，若需计算复数，可使用cmath模块（本文不赘述）。

使用dir函数，查看math库中包含的所有内容：

1） math.pi    # 圆周率π

2） math.e    #自然对数底数

3） math.inf    #正无穷大∞，-math.inf    #负无穷大-∞

4） math.nan    #非浮点数标记，NaN（not a number）

1） math.fabs(x)    #表示X值的绝对值

2） math.fmod(x,y)    #表示x/y的余数，结果为浮点数

3） math.fsum([x,y,z])    #对括号内每个元素求和，其值为浮点数

4） math.ceil(x)    #向上取整，返回不小于x的最小整数

5）math.floor(x)    #向下取整，返回不大于x的最大整数

6） math.factorial(x)    #表示X的阶乘，其中X值必须为整型，否则报错

7） math.gcd(a,b)    #表示a,b的最大公约数

8）  math.frexp(x)      #x = i *2^j，返回（i，j）

9） math.ldexp(x,i)    #返回x*2^i的运算值，为math.frexp(x)函数的反运算

10） math.modf(x)    #表示x的小数和整数部分

11） math.trunc(x)    #表示x值的整数部分

12） math.copysign(x,y)    #表示用数值y的正负号，替换x值的正负号

13） math.isclose(a,b,rel_tol =x,abs_tol = y)    #表示a，b的相似性，真值返回True，否则False；rel_tol是相对公差：表示a，b之间允许的最大差值，abs_tol是最小绝对公差，对比较接近于0有用，abs_tol必须至少为0。

14） math.isfinite(x)    #表示当x不为无穷大时，返回True，否则返回False

15） math.isinf(x)    #当x为±∞时，返回True，否则返回False

16） math.isnan(x)    #当x是NaN，返回True，否则返回False

1） math.pow(x,y)    #表示x的y次幂

2） math.exp(x)    #表示e的x次幂

3） math.expm1(x)    #表示e的x次幂减1

4） math.sqrt(x)    #表示x的平方根

5） math.log（x,base）    #表示x的对数值，仅输入x值时，表示ln(x)函数

6） math.log1p(x)    #表示1+x的自然对数值

7） math.log2(x)    #表示以2为底的x对数值

8） math.log10(x)    #表示以10为底的x的对数值

1） math.degrees(x)    #表示弧度值转角度值

2） math.radians(x)    #表示角度值转弧度值

3） math.hypot(x,y)    #表示(x,y)坐标到原点(0,0)的距离

4） math.sin(x)    #表示x的正弦函数值

5） math.cos(x)    #表示x的余弦函数值

6） math.tan(x)    #表示x的正切函数值

7）math.asin(x)    #表示x的反正弦函数值

8） math.acos(x)    #表示x的反余弦函数值

9） math.atan(x)    #表示x的反正切函数值

10） math.atan2(y,x)    #表示y/x的反正切函数值

11） math.sinh(x)    #表示x的双曲正弦函数值

12） math.cosh(x)    #表示x的双曲余弦函数值

13） math.tanh(x)    #表示x的双曲正切函数值

14） math.asinh(x)    #表示x的反双曲正弦函数值

15） math.acosh(x)    #表示x的反双曲余弦函数值

16） math.atanh(x)    #表示x的反双曲正切函数值

1）math.erf(x)    #高斯误差函数

2） math.erfc(x)    #余补高斯误差函数

3） math.gamma(x)    #伽马函数（欧拉第二积分函数）

4） math.lgamma(x)    #伽马函数的自然对数

相关问答

Q1: python怎么做误差修正模型

如果是只有两个变量的Python编写误差函数，应该是负数Python编写误差函数，多于两个的Python编写误差函数，可以是正数Python编写误差函数，不知道如何理解Python编写误差函数，我做的一些两个变量的模型，出现的是正数，不过是用VECM做的，不知道这和

Q2: 如何用Python进行线性回归以及误差分析

线性回归：

设x,y分别为一组数据Python编写误差函数，代码如下

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

ro=np.polyfit(x,y,deg=1) #deg为拟合的多项式的次数（线性回归就选1）

ry=np.polyval(ro,x) #忘记x和ro哪个在前哪个在后Python编写误差函数了。。。

print ro #输出的第一个数是斜率k，第二个数是纵截距b

plt.scatter(x,y)

plt.plot(x,ry)

Q3: Python科学计算——任意波形拟合

任意波形Python编写误差函数的生成 (geneartion of arbitrary waveform) 在商业Python编写误差函数，军事等领域都有着重要的应用Python编写误差函数，诸如空间光通信 (free-space optics communication)， 高速信号处理 (high-speed signal processing)，雷达 (radar) 等。在任意波形生成后， 如何评估生成的任意波形 成为另外一个重要的话题。

假设有一组实验数据，已知他们之间的函数关系：y=f(x)，通过这些信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，f 是一个线型函数 f(x)=k*x+b，那么参数 k 和 b 就是需要确定的值。如果这些参数用 p 表示的话，那么就需要找到一组 p 值使得如下公式中的 S 函数最小：

这种算法被称之为 最小二乘拟合 (least-square fitting)。scipy 中的子函数库 optimize 已经提供实现最小二乘拟合算法的函数 leastsq 。下面是 leastsq 函数导入的方式：

scipy.optimize.leastsq 使用方法

在 Python科学计算——Numpy.genfromtxt 一文中，使用 numpy.genfromtxt 对数字示波器采集的三角波数据导入进行Python编写误差函数了介绍，今天，就以 4GHz三角波 波形的拟合为案例介绍任意波形的拟合方法。

在 Python科学计算——如何构建模型？ 一文中，讨论了如何构建三角波模型。在标准三角波波形的基础上添加了 横向，纵向的平移和伸缩特征参数 ，最后添加了 噪声参数 模拟了三角波幅度参差不齐的随机性特征。但在波形拟合时，并不是所有的特征参数都要纳入考量，例如，噪声参数应是 波形生成系统 的固有特征，正因为它的存在使得产生的波形存在瑕疵，因此，在进行波形拟合并评估时，不应将噪声参数纳入考量，最终模型如下：

在调用 scipy.optimize.leastsq 函数时，需要构建误差函数：

有时候，为了使图片有更好的效果，需要对数据进行一些处理：

leastsq 调用方式如下：

合理的设置 p0 可以减少程序运行时间，因此，可以在运行一次程序后，用拟合后的相应数据对 p0 进行修正。

在对波形进行拟合后，调用 pylab 对拟合前后的数据进行可视化：

均方根误差 (root mean square error) 是一个很好的评判标准，它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替.方根误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，均方根误差能够很好地反映出测量的精密度。

RMSE 用程序实现如下：

拟合效果，模型参数输出：

leastsq 函数适用于任何波形的拟合，下面就来介绍一些常用的其他波形：

Q4: 多项式拟合平方误差怎么求

线性模型（二）之多项式拟合

1. 多项式拟合问题

  多项式拟合（polynominal curve fitting）是一种线性模型，模型和拟合参数的关系是线性的。多项式拟合的输入是一维的，即x=xx=x，这是多项式拟合和线性回归问题的主要区别之一。

  多项式拟合的目标是构造输入xx的MM阶多项式函数，使得该多项式能够近似表示输入xx和输出yy的关系，虽然实际上xx和yy的关系并不一定是多项式，但使用足够多的阶数，总是可以逼近表示输入xx和输出yy的关系的。

  多项式拟合问题的输入可以表示如下：

D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xi,yi),...,(xN,yN)}xi∈Ryi∈R

D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xi,yi),...,(xN,yN)}xi∈Ryi∈R

  目标输出是得到一个多项式函数：

f(x)=w1x1+w2x2+wixi+...+wMxM+b=(∑i=1Mwixi)+b

f(x)=w1x1+w2x2+wixi+...+wMxM+b=(∑i=1Mwixi)+b

其中MM表示最高阶数为MM。

  可见在线性拟合的模型中，共包括了(M+1)(M+1)个参数，而该模型虽然不是输入xx的线性函数，但却是(M+1)(M+1)个拟合参数的线性函数，所以称多项式拟合为线性模型。对于多项式拟合问题，其实就是要确定这(M+1)(M+1)个参数，这里先假设阶数MM是固定的（MM是一个超参数，可以用验证集来确定MM最优的值，详细的关于MM值确定的问题，后面再讨论），重点就在于如何求出这(M+1)(M+1)个参数的值。

2.优化目标

  多项式拟合是利用多项式函数逼近输入xx和输出yy的函数关系，通过什么指标来衡量某个多项式函数的逼近程度呢？（其实这就是误差/损失函数）。拟合/回归问题常用的评价指标是均方误差（在机器学习中的模型评估与度量博客中，我进行了介绍）。多项式拟合问题也同样采用该评价指标，以均方误差作为误差/损失函数，误差函数越小，模型越好。

E(w,b)=1N∑i=1N[f(xi)−yi]2

E(w,b)=1N∑i=1N[f(xi)−yi]2

  系数1N1N是一常数，对优化结果无影响，可以去除，即将均方误差替换为平方误差：

E(w,b)=∑i=1N[f(xi)−yi]2

E(w,b)=∑i=1N[f(xi)−yi]2

   到这里，就成功把多项式拟合问题变成了最优化问题，优化问题可表示为：

argminw,bE(w,b)

arg⁡minw,b⁡E(w,b)

即需要求得参数{w1,...,wM,b}{w1,...,wM,b}的值，使得E(w,b)E(w,b)最小化。那么如何对该最优化问题求解呢？

3. 优化问题求解

3.1 求偏导，联立方程求解

   直观的想法是，直接对所有参数求偏导，令偏导为0，再联立这M+1M+1个方程求解（因为共有M+1M+1个参数，故求偏导后也是得到M+1M+1个方程）。

E(w,b)=∑i=1N[f(xi)−yi]2=∑i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)−yi]2

E(w,b)=∑i=1N[f(xi)−yi]2=∑i=1N[(w1xi1+w2xi2+wixij+...+wMxiM+b)−yi]2

利用E(w,b)E(w,b)对各个参数求偏导，如下：

∂E(w,b)∂wj∂E(w,b)∂b=2∑i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)−yi]xji=2∑i=1N[(w1x1i+w2x2i+wixji+...+wMxMi+b)−yi]

∂E(w,b)∂wj=2∑i=1N[(w1xi1+w2xi2+wixij+...+wMxiM+b)−yi]xij∂E(w,b)∂b=2∑i=1N[(w1xi1+w2xi2+wixij+...+wMxiM+b)−yi]

求导之后，将各个点(xi,yi)(xi,yi)的值带入偏导公式，联立方程求解即可。

  针对该解法，可以举个例子详细说明，比如有两个点(2,3),(5,8)(2,3),(5,8),需要利用二阶多项式f(x)=w1x+w2x2+bf(x)=w1x+w2x2+b拟合。求解过程如下：

该二阶多项式对参数求偏导得到

∂E(w,b)∂wj∂E(w,b)∂b=2∑i=12[(w1x1i+w2x2i+b)−yi]xji=[(w1x1+w2x21+b)−y1]xj1+[(w1x2+w2x22+b)−y2]xj2=2∑i=12[(w1x1i+w2x2i+b)−yi]=[(w1x1+w2x21+b)−y1]+[(w1x2+w2x22+b)−y2]

∂E(w,b)∂wj=2∑i=12[(w1xi1+w2xi2+b)−yi]xij=[(w1x1+w2x12+b)−y1]x1j+[(w1x2+w2x22+b)−y2]x2j∂E(w,b)∂b=2∑i=12[(w1xi1+w2xi2+b)−yi]=[(w1x1+w2x12+b)−y1]+[(w1x2+w2x22+b)−y2]

将点(2,3),(5,8)(2,3),(5,8)带入方程，可以得到3个方程，

2b+7w1+29w2=117b+29w1+133w2=4629b+133w1+641w2=212

2b+7w1+29w2=117b+29w1+133w2=4629b+133w1+641w2=212

联立这三个方程求解，发现有无穷多的解，只能得到3w1+21w2=53w1+21w2=5，这三个方程是线性相关的，故没有唯一解。

  该方法通过求偏导，再联立方程求解，比较复杂，看着也很不美观。那么有没有更加方便的方法呢？

3.2 最小二乘法

   其实求解该最优化问题（平方和的最小值）一般会采用最小二乘法（其实最小二乘法和求偏导再联立方程求解的方法无本质区别，求偏导也是最小二乘法，只是这里介绍最小二乘的矩阵形式而已）。最小二乘法（least squares），从英文名非常容易想到，该方法就是求解平方和的最小值的方法。

  可以将误差函数以矩阵的表示(NN个点，最高MM阶)为：

∥Xw−y∥2

‖Xw−y‖2

其中，把偏置bb融合到了参数ww中，

w={b,w1,w2,...,wM}

w={b,w1,w2,...,wM}

XX则表示输入矩阵，

⎡⎣⎢⎢⎢⎢11...1x1x2...xNx21x22...x2N............xM1xM2...xMN⎤⎦⎥⎥⎥⎥

[1x1x12...x1M1x2x22...x2M...............1xNxN2...xNM]

yy则表示标注向量，

y={y1,y2,...,yN}T

y={y1,y2,...,yN}T

因此，最优化问题可以重新表示为

minw∥Xw−y∥2

minw‖Xw−y‖2

对其求导，

∂∥Xw−y∥2∂w=∂(Xw−y)T(Xw−y)∂w=∂(wTXT−yT)(Xw−y)∂w=∂(wTXTXw−yTXw−wTXTy+yTy)∂w

∂‖Xw−y‖2∂w=∂(Xw−y)T(Xw−y)∂w=∂(wTXT−yT)(Xw−y)∂w=∂(wTXTXw−yTXw−wTXTy+yTy)∂w

在继续对其求导之前，需要先补充一些矩阵求导的先验知识（常见的一些矩阵求导公式可以参见转载的博客），如下：

∂xTa∂x=a∂ax∂x=aT∂xTA∂x=Ax+ATx

∂xTa∂x=a∂ax∂x=aT∂xTA∂x=Ax+ATx

根据上面的矩阵求导规则，继续进行损失函数的求导

∂∥Xw−y∥2∂w=∂(wTXTXw−yTXw−wTXTy+yTy)∂w=XTXw+(XTX)Tw−(yTX)T−XTy=2XTXw−2XTy

∂‖Xw−y‖2∂w=∂(wTXTXw−yTXw−wTXTy+yTy)∂w=XTXw+(XTX)Tw−(yTX)T−XTy=2XTXw−2XTy

其中XTXw=(XTX)TwXTXw=(XTX)Tw.令求导结果等于0，即可以求导问题的最小值。

2XTXw−2XTy=0w=(XTX)−1XTy

2XTXw−2XTy=0w=(XTX)−1XTy

  再利用最小二乘法的矩阵形式对前面的例子进行求解，用二阶多项式拟合即两个点(2,3),(5,8)(2,3),(5,8)。

表示输入矩阵 XX和标签向量yy

X=[1125425]y=[38]T

X=[1241525]y=[38]T

计算XTXXTX

XTX=⎡⎣⎢272972913329133641⎤⎦⎥

XTX=[272972913329133641]

矩阵求逆，再做矩阵乘法运算

但 XTXXTX不可逆，故无唯一解。

  关于矩阵的逆是否存在，可以通过判断矩阵的行列式是否为0（det(A)=?0det(A)=?0 来判断，也可以通过初等行变换，观察矩阵的行向量是否线性相关，在这个例子下，矩阵不可逆，故有无穷多解。但如果新增一个点(4,7)(4,7)，则就可以解了。

  其实这和数据集的点数和选择的阶数有关，如果点数小于阶数则会出现无穷解的情况，如果点数等于阶数，那么刚好有解可以完全拟合所有数据点，如果点数大于阶数，则会求的近似解。

  那么对于点数小于阶数的情况，如何求解？在python的多项式拟合函数中是可以拟合的，而且效果不错，具体算法不是很了解，可以想办法参考python的ployfit()函数的实现。

4. 拟合阶数的选择

   在前面的推导中，多项式的阶数被固定了，那么实际场景下应该如何选择合适的阶数MM呢？

一般会选择阶数MM小于点数NN

把训练数据分为训练集合验证集，在训练集上，同时用不同的MM值训练多个模型，然后选择在验证集误差最小的阶数script type="math/tex" id="MathJax-Element-5573"M/script

关于Python编写误差函数和python 误差函数的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。