python计算幂函数 python 幂函数

幂函数的基本运算有哪些

1、同底数幂的乘法：

2、幂的乘方(a^m)^n=a^(mn)，与积的乘方(ab)^n=a^nb^n。

3、同底数幂的除法：

（1）同底数幂的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均为正整数，并且mn)。

（2）零指数：a0=1 (a≠0)。

（3）负整数指数幂：a-p= (a≠0, p是正整数）①当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义。

法则口诀：

同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；

同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方；

幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方

分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变。

扩展资料

计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4

解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4

分析：

①先做乘法再做减法

=x（5+n-3+4）-3x（2+n+4 ）

②运算结果指数能合并的要合并

=x（6+n）-3x（6+n）

③3x2即为3·(x2)

=(1-3)x6+n ④x 6+n，与-3x6+n是同类项，

=-2x 6+n合并时将系数进行运算(1-3)=-2。

相关问答

Q1: Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【5】

……续上回 Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【4】

来看profile的记录分析，看时间具体用在哪个部分了

一看，绝大部分时间耗在两句results上了

看来主要都用来大整数运算了

下面来试一下

把这程序里两句“results = ”后面的大数运算注释掉，换成1。也就是两句都成“results = 1”

再运行计时看看

Total time: 0.000753秒

很惊人，去掉大数运算后，运行时间缩短成了原用时的1%。也就是99%时间消耗在Python内置的大数运算上了

下面试下用号称地球上最好的大数运算库替换掉Python内置的大数运算

9.  应用GMP库

全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库，这是一个C写成的高效大数运算库

gmpy2是Python下对GMP库的封装

安装很简单，在操作系统下打命令pip install gmpy2，就安装好了

应用到程序也很简单

把上面的二分迭代解法程序开头添加一行

再把程序里

改成

就可以了

运行看一下用时

Total time: 0.00689297秒

是原用Python内置大数运算用时的9%

效果显著。可见Python内置大数运算效率确实不怎么样

相关大整数乘法高效算法的介绍可参见这篇《 【算法】大数乘法问题及其高效算法 》

极大整数乘法的时间复杂度低至近似O(n*log n)

前面二分解法本身时间复杂度是O(log n)

现在把大数因素考虑进去。大数时间复杂度的n可以用二进制位数表示

第n项斐波那契数的二进制位数k跟n是线性关系，n*10，那位数k也是*10

现在把极大整数乘法时间复杂度代入，O(n*log n)*O(log n)=O(n*(log n)^2)

也就是在大数情况下二分解法的时间复杂度为O(n*(log n)^2)

可以看这篇《 为什么算法渐进复杂度中对数的底数总为2 》解释

10.  矩阵解法

斐波那契数列和矩阵的关系推导我看到GoCalf Blog里写的一段非常清晰，特在此引用

这解法就是求矩阵的n-1次幂。矩阵幂运算也能根据下面公式迭代二分加速

就是所谓的矩阵快速幂

Python里库很丰富，大名鼎鼎的numpy就是一个有关矩阵的库。这库是有优化的，算矩阵幂就不用个人再写什么矩阵快速幂函数了

用numpy库就能很简单的写出来

因为numpy没有大数支持，大数运算还是要用GMP库

同上测用时

Total time: 0.042466秒

这幂运算是二分加速的，时间复杂度为O(log n)

对于固定阶矩阵相乘，乘的次数是个常数，也就是O(1)。虽然这个常数比较大^_*

代入大数时间复杂度，总体复杂度也是O(n*(log n)^2)

这儿来解释下为何矩阵快速幂比二分递归解法时间常数大

我们再来仔细看看斐波那契数列的矩阵形式：

会发现 z 和 y 必然相等，z 没必要再计算一遍。

t = x - y，因此 t 也没必要再计算一遍。

只需要计算矩阵第一列的那两个元素即可：

矩阵快速幂中两个矩阵相乘实际可分解为8次两个大整数乘法，而二分递归中只需要3次两个大整数乘法。所以二分递归时间常数小。

未完待续……

Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【6】

Q2: 幂函数是如何计算的，其计算复杂度如何统计

　

比如我们要求power（2,1/3），意思就是我们要解一个方程x^3=2.这不就是一个高次方程么。那么解告辞方程的手段都可以用了，最简单的二分法，稍微复杂点的牛顿迭代，还有aitken加速算法，如果你想了解更多更深入的数值分析方法，那需要较强的数学理论做基础。比如高阶台劳公式等等，这些还是很繁琐的。

值得一提的是那如果我们要算power（2,π），怎么办？那就需要更爽的策略了 。这个打字太麻烦了，我可以用怎样口算求开发来说明用牛顿迭代求power（17,1/2）

一般的，形如y=xa(a为实数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x0y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

Q3: 幂函数求和公式

幂函数求和公式：s=N+(N-1)+(N-2)+...+1，其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。

推导的过程：可通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。

当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得：2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得：2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数。

又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得：2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数，合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。

Q4: 对数函数，指数函数，幂函数计算公式

对数函数计算公式：y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1），它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。

指数函数计算公式：一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。

幂函数计算公式：一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数。

拓展资料：

一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

如果ax=N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logax（a0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

一般地.形如y=x^α(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。

幂函数的一般形式是  ，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时取其近似的有理数），这时可表示为  ，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。

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