实现欧拉函数python的简单介绍

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2的欧拉函数值为什么是

一.欧拉函数

1.算法描述

1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数实现欧拉函数python，也就是说，1~N中与N的最大公约数是1的数的个数，记作\phi \left ( N \right )。

在算术基本定理中，若

N=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2 }}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{\alpha _{n}}

则实现欧拉函数python：

\phi \left ( N \right )=N\left ( 1-\frac{1}{p_{1}} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_{2}} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_{n}} \right )

证明如下：我们可以分以下几步求出N的互质的数

1.在1~N这些数中，将p1、p2、……pn的倍数剔除，很显然，pi的倍数和N的最大公约数是不是1.

N-\frac{N}{p_{1}}-\frac{N}{p_{2}}-\cdot \cdot \cdot -\frac{N}{p_{n}}

2.但需要注意是，在1~N这些数中，pi*pj的倍数倍剔除了两次，因此要把他们加上

\frac{N}{p_{1}p_{2}}+\frac{N}{p_{1}p_{3}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{N}{p_{n-1}p_{n}}

3.但是，对于pi*pj*pk的倍数，在第1步时，被剔除了三次，在第2步时，被pi*pj、pi*pk、pj*pk加上了三次，因而我们需要把pi*pj*pk的倍数再剔除一次：

-\frac{N}{p_{1}p_{2}p_{3}}-\frac{N}{p_{1}p_{2}p_{4}}-\cdot \cdot \cdot -\frac{N}{p_{n-2}p_{n-1}p_{n}}

4.那么可以想到，接下来就是所有N除以四项乘积的和，减去N除以五项乘积的和……

事实上，将所有的这些式子加起来，得到的就是

\phi \left ( N \right )=N\left ( 1-\frac{1}{p_{1}} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_{2}} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_{n}} \right )

首先，当分母为奇数个乘积时，那每一项的符号都是-1的奇数次方，还是-1实现欧拉函数python；当分母为偶数个乘积时，每一项的符号都是-1的偶数次方，为正。

这个公式可以类比于约数的个数,道理是一样的。

\left ( p_{1}^{0}+p_{1}^{1} +\cdot \cdot \cdot + p_{1}^{\alpha _{1}}\right )\left ( p_{2}^{0}+p_{2}^{1} +\cdot \cdot \cdot + p_{2}^{\alpha _{2}}\right )\cdot \cdot \cdot \left ( p_{n}^{0}+p_{n}^{1} +\cdot \cdot \cdot + p_{n}^{\alpha _{n}}\right )

2.代码实现

可以发现，欧拉函数并不关心每个质因子的指数是什么，因而我们不用s来存储指数，也不用map来存储质因子，每当我们发现一个质数i时，让结果乘以(1-1/i)。但需要注意两点：

1.对于(1-1/i)，1/i是小数，就这么写的话，那每一项都是1了，所以要×i再÷i，即：res=res/i*(i-1)。

2.一定要记得在循环结束后，判断x是否会大于1，如果大于1，说明还存在x这个质因子，再执行一步：res=res/x*(x-1)。

具体代码：

#includeiostream

using namespace std;

int n;

int main(){

cinn;

while(n--){

int x;

cinx;

int res=x;

for(int i=2;i=x/i;i++){

if(x%i==0){

while(x%i==0){

x=x/i;//i是我的一个质数

}

res=res/i*(i-1);

}

if(x1) res=res/x*(x-1);//注意

coutresendl;

}

二.筛法求欧拉函数

1.算法描述

第一部分中的算法适合于求单个给定数字对应的欧拉函数的值，但是当题目要求求1~N所有数字的欧拉值之和时，用第一部分中的算法就会花费很多时间，下介绍用筛法求欧拉函数：

首先我们回顾筛法求质数的过程，对于给定的正整数N：

for(int i=2;i=n;i++){

if(!str[i]){

primes[cnt++]=i;

}

else{

for(int j=0;primes[j]=n/i;j++){

str[i*primes[j]]=true;

if(i%primes[j]==0) break;

}

通过筛法，所有的质数，合数我们都可以遍历到，把所有的质数加入数组primes中，并且str[i*primes[j]]保证了每一个数都会被它的最小质因子筛掉，而if(i%primes[j]==0)保证了不会被重复标记，详细介绍可以参考：

那如何做出修改让筛法求欧拉函数？

1.首先，对于质数i，那么1~i-1都与i互质，那么\phi \left (i \right )=i-1

2.对于合数，即我用str[i*primes[j]]将一个合数筛掉时，我必须同时把它的欧拉值求出来，我们分为以下两种情况：

A.若i可以整除primes[j]，那么primes[j]*i和i有共同的质因子，这是因为primes[j]是i的质因子，那么\phi \left ( i \right )已经包括了1-\frac{1}{primes[j]}这一项，而欧拉函数的值与指数无关，因而：

\phi \left ( i*primes[j] \right )=primes[j]*\phi \left ( i \right )

B.若i不能够整除primes[j]，那么primes[j]*i比i多一个质因子primes[j]，这是因为i本身不包含质因子primes[j]，而primes[j]本身是质数，不会再有质因子，因而：

\phi \left ( i*primes[j] \right )=primes[j]\left ( 1-\frac{1}{primes[j]} \right )\phi \left ( i\right )=\left ( primes[j] -1\right )\phi \left ( i \right )

因而，每一个数的欧拉值都可以通过该种方法求出来。

2.代码实现

关于代码实现需要注意的是，res的值可能会很大，所以要定义成long long类型。

具体代码：

#includeiostream

using namespace std;

int x;

const int N=1000010;

long long res;//最后的欧拉函数的值的和，有可能会非常大，要用long long

bool str[N];//是否被标记过

int primes[N];//存放质因子

int cnt;

int phi[N];//各个N的函数值

int main(){

phi[1]=1;//1的欧拉值为1捏

cinx;

for(int i=2;i=x;i++){

if(!str[i]){//如果没有被标记过，那么是质数

phi[i]=i-1;//质数的欧拉值就是i-1

primes[cnt++]=i;

}

for(int j=0;primes[j]=x/i;j++){

str[i*primes[j]]=true;//首先我一定能把所有的合数遍历到，这是肯定的

if(i%primes[j]==0){

//如果i可以整除primes[j]的话,那么i和primes[j]*i的最小质因子是相同的

phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i];

break;

}

else{

//如果i不可整除primes[j]的话，那么i和primes[j]*i就相差一个primes[j]这个最小质因子

phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i]*(primes[j]-1)/primes[j];

//那这样就把所有数的欧拉值都存在phi中

}

for(int i=1;i=x;i++){

res=res+phi[i];

}

coutres;

}

正文

2的欧拉函数值为什么是

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