python求衰减函数 python递减函数

生老病死背后的数学故事

人类进步通常是由认识自然的渴望所驱动的。这种探求事物的本质、追根溯源的努力，远远超过了单纯满足生存需求和提高生活质量的要求。当然，这并不是说所有人都会主动去追寻自然奥秘，研究抽象的数学命题。为了生存而整日奔波忙碌的芸芸众生，几乎不可能有时间奢侈地思考人生的意义。然而，人类历史上却始终不乏先驱来思考万事万物的根源，探寻自然界的构成方式和法则。

摘录自《数学沉思录》，作者Mario Livio 1945年出生于罗马尼亚，1950年定居以色列，耶路撒冷希伯莱大学本科毕业，魏兹曼科学院硕士，特拉维夫大学博士。

数学是对具象世界的抽象化表示，具象世界包含了万事万物。正如英国物理学家James Jeans表示：“宇宙好像是一位理论数学家设计的。”

我们先举几个例子：

l人类胚胎细胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度递减，为什么？繁殖速度的函数关系和概率分布是怎么样的？

l甲醛已经被世界卫生组织确定为致癌和致畸形物质，是公认的变态反应源，也是潜在的强致突变物之一，诱发白血病。新装修的房间吹吹风三四个月，就能安全入住吗？甲醛衰减释放到安全限值以下，需要多久时间？它的衰减函数是多少？空气净化器能够加快甲醛衰减，还是能够彻底去除甲醛？

l有一笔资金100万，存入连续复利计算的银行，年利率为4%，那么6年后，利息本金总余额为多少？

l如果你平均每个小时接到2次电话，那么你平均等待每一次电话的时间是多长时间？

l你的手机中电子元器件过了多少年不能正常工作，那么元器件的寿命分布是什么类型的？

l电蚊拍啪啪啪电死蚊子以后，放开开关，电蚊拍电网上残余的电压会多久变为0，它的函数是什么样的？

以上问题看似各不相关，但是经过物理学家，化学家，金融家，生物学家等科学家初步抽象化后，再最终经过n层抽象化，发现他们背后的规律极其相似，都来到了数学家的大门。

这些规律都涉及到神奇的自然指数，也叫自然常数，自然底数，原名双曲对数，是以e为底的对数，其中，e是一个无理数常数，近似于2.718281828459。

e 是所有连续增长过程都共有的基本增长率，而负数 -e ，可以理解为所有连续衰竭过程都共有的基本衰减率。

也就是说常识上理解的生老病死等具象背后，有着一个神奇的数字，e在规划着量的变化，直到质的变化。

先用python画一个自然衰减的概率分布曲线：

l人类胚胎细胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度递减，为什么？繁殖速度的函数关系和概率分布是怎么样的？

例如细胞或细菌的繁殖，也会经历指数增长期这个阶段，大量快速繁殖，然而如果一直按照这个速度持续下去，可能地球都无法承担一个成人的重量，如果没有死亡，也无法承担人口数量的指数增长。所以又有了新的限制性设计，即控制增长常数k来实现对生长繁殖的限制。

美国学者海尔弗利在1961年提根据实验研究发现动物胚胎细胞在成长过程中，其分裂的次数是有规律的，到一定阶段就出现衰老和死亡。2009年的诺贝尔医学奖获得者是三位长期从事染色体研究的科学家，发现了端粒(telomere)和端粒酶(telomerase)，端粒酶的作用是维持端粒的长度。出生前端粒酶很活跃，到四、五岁时就基本停止活动，端粒开始随着时间而退化，导致细胞衰老并最终停止分裂。

l甲醛已经被世界卫生组织确定为致癌和致畸形物质，是公认的变态反应源，也是潜在的强致突变物之一，诱发白血病。新装修的房间吹吹风三四个月，就能安全入住吗？甲醛衰减释放到安全限值以下，需要多久时间？它的衰减函数是多少？空气净化器能够加快甲醛衰减，还是能够彻底去除甲醛？

例如甲醛污染物的浓度随时间的变化符合指数函数的变化趋势:

ct=c0*exp(-k*t)

通过实际测量，可以通过回归分析，计算出甲醛的k衰减常数，得出甲醛污染物随时间t的曲线。而空气净化器本质上是通过改变k衰减常数，加速甲醛污染物的衰减速度，经过比较短的时间后，如果产品能力足够强大，使得人们在相对有限空间的房间内能够相对安全的居住。而不是从根本上杀死或去除污染物，所以如果新装修的房间检测出甲醛等污染源，而又无法通过其他方式从根本上降解转化为安全化学物的化，净化器要常开常用才能实现“消除”污染物的目的。

l有一笔资金100万，存入连续复利计算的银行，年利率为4%，那么6年后，利息本金总余额为多少？

对比下两者复利计算的差异：

简单复利计息的计算公式：本利和=本金×（1+利率）^期数。如果是简单复利计算，FV=126.53万。

如果连续复利计息，即无时无刻不在计息，也就是时间进行无线细分后，在有理数和无理数的t数轴上连续计息。

连续复利计息的计算公式：投资的终值FV=C0×e^(rt)，这里r=0.04，t=6，C0=100万，则六年后127.12万，比简单复利计算多了5900。

其他两个问题或类似问题，基本上也都是按照类似函数关系进行展开分析。

我们可以将指数函数进行泰勒级数展开，或加入欧拉公式，发现将e拆分后，是有极有规律的数值合成的，可以由幂函数展开。

而在复数平面空间，则可以将指数函数展开为三角函数，也就是正弦和余弦函数，

如果将x的n次方作为一组函数基底，即相互垂直的n维坐标轴，而将1/n!作为系数，则e^x函数可以看作是矩阵[0,1/1!,1/2!,…1/n!]和[x^0,x^1,x^2…x^n]的乘积。

其中第一个矩阵也可以成为n维行向量，第二个矩阵看作n维列向量，即转换为向量空间的数量积（又叫内积、点积）。

如果将n设定为无穷大，则e^x函数可以展开为无穷维空间的向量运算，数学家们对无限维度函数空间的概念和运算，展开为一门新的数学分支，泛函分析（functional analysis），从而打开了另外一个天地。

泛函分析研究的主要对象是函数构成的空间，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

那么问题来了，如果将e^x函数作为第一层抽象，而将泰勒幂函数展开作为第二层抽象，将向量空间和其算子作为第三层抽象的话，那么泛函分析这种经过n重抽象之后的纯数学计算有什么价值和意义呢？

泛函分析是

举一个最简单的具象例子：

一个圆球在重力加速度作用下，从A点到不在它垂直下方的另一点B点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。

也就是著名的最速曲线问题。

如果任意作图，A点到B点之间可以画直线，也可以做任意的曲线，这些曲线如果用函数表示，则可以为无穷个函数。

那么这无穷个函数中，圆球沿着哪个函数的曲线，时间最短呢？

通过泛函分析，计算得出欧拉－拉格朗日方程。这个方程称为极值函数。

泛函分析也广泛应用于图像降噪处理等现实商业技术领域，在理论学科例如数学物理方程、概率论、计算数学、信号与系统、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。

我们再回到这个函数，这里自然对数函数是由x^n函数，即幂函数组合而成。

幂函数在自然和社会现象中，又有哪些应用呢？

股市中有80％的投资者只想着怎么赚钱，仅有20％的投资者考虑到赔钱时的应变策略。但结果是只有那20％投资者能长期盈利，而80％投资者却常常赔钱。

著名的20/80原则，也称为帕累托分布，长尾分布就是幂函数分布，也就是幂律分布，其广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种多样.在自然界与日常生活中,包括地震规模大小的分布、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布 、太阳耀斑强度的分布 、计算机文件大小的分布 、战争规模的分布、人类语言中单词频率的分布 、大多数国家姓氏的分布 、科学家撰写的论文数的分布、论文被引用的次数的分布、网页被点击次数的分布 、微博的粉丝数量、不公平社会中的财富分配、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、甚至电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。

既然提到了分布，我们不能不提大名鼎鼎的正态分布（高斯分布）。这个分布和e又有什么关系呢？

我们看一个简单的标准正态分布的概率密度函数，就知道它的底依然是e，也就是自然对数。这里函数依然可以通过泰勒展开为幂函数的组合。

同样有关分布，我们再回到这个问题：

l如果你平均每个小时接到2次电话，那么你平均等待每一次电话的时间是多长时间？

对于接电话这个事件发生的频率和次数，经研究任务是泊松分布。而等待一次电话的平均间隔时间，则又变成了指数形式。

当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

p(τ)=λe^-λτ

而时间间隔，则呈现指数形式，而且底数为e!

如果耐心看到这里，也许会有一个直观的疑问，即这些复杂的各种各样的分布背后，函数背后，既然都和e有关，是否存在一种或若干种变换，或一个空间，能够将所有分布和概率问题统一为更一般性或简单化的规律呢？

这个问题有赖于数学家们的进一步抽象化和创新，也有赖于人们对数学工具的应用。

小结：

数学因其高度抽象思维的特征，广泛应用于各种理论学科和现实实践当中，数学理论工具的应用和迁移，也带来了更多的创新。

引申阅读：

一款简单却威力无穷的创新工具

相关问答

Q1: 利用Python进行数据分析(10)-移动窗口函数

Python-for-data-移动窗口函数

本文中介绍python求衰减函数的是 python求衰减函数，主要的算子是：

统计和通过其他移动窗口或者指数衰减而运行的函数，称之为 移动窗口函数

style scoped="".dataframe tbody tr th:only-of-type { vertical-align: middle; } precode.dataframe tbody tr th { vertical-align: top; } .dataframe thead th { text-align: right; } /code/pre/style

2292 rows × 3 columns

rolling算子，行为和resample和groupby类似

rolling可以在S或者DF上通过一个window进行调用

style scoped="".dataframe tbody tr th:only-of-type { vertical-align: middle; } precode.dataframe tbody tr th { vertical-align: top; } .dataframe thead th { text-align: right; } /code/pre/style

2292 rows × 3 columns

指定一个常数衰减因子为观测值提供更多的权重。常用指定衰减因子的方法：使用span（跨度）

一些统计算子，例如相关度和协方差等需要同时操作两个时间序列。

例如，金融分析中的股票和基准指数的关联性问题：计算时间序列的百分比变化pct_change()

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在rolling及其相关方法上使用apply方法提供了一种在移动窗口中应用自己设计的数组函数的方法。

唯一要求：该函数从每个数组中产生一个单值(缩聚)，例如使用rolling()...quantile(q)计算样本的中位数

Q2: 滤波方法及python实现

对滤波的 总结 ： 对特定频率进行有效提取python求衰减函数，并对提取部分进行特定的处理（增益，衰减，滤除）的动作被叫做滤波。

最常用的滤波器类型有三种： 通过式（Pass），搁架式（Shelving）和参量式（Parametric）。 滤波器都有一个叫 参考频率（Reference Frequency）的东西 ，在不同类型的滤波器中，具体的叫法会有所不同。

通过式滤波器可以让参考频率一侧的频率成分完全通过该滤波器，同时对另一侧的频率成分做线性的衰减，就是，一边让通过，一边逐渐被滤除。在信号学中，通过的区域被称为通带，滤除的区域被叫做阻带，在通过式滤波器中，参考频率通常被称为截止频率。

高通滤波器（high-pass filters）：让截止频率后的高频区域通过，另一侧滤除，低通滤波器（low-pass filters）：让截止频率前的低频区域通过，另一侧滤除，通

以下是高通滤波器与低通滤波器的核心参数：

截止频率（Cut-off frequency） ：决定了通带（通过的频率部分）与阻带（阻止的频率部分）的分界曲线，截止频率的位置并非是在曲线开始弯曲的那个点，而是在-3dB的位置。以图2左侧的高通滤波器为例，截止频率点之上的部分频率并没有全部被通过，而是有个曲线，在曲线回归平直后其频率才被完全通过。至于为什么要将-3dB的位置设为截止频率，是因为-3dB对于滤波器的设计而言是个非常重要的位置，如果设为其python求衰减函数他位置，则会让通过式滤波器的设计变得尤为复杂。

斜率（Slope） ：表示的是通带与阻带的分界曲线的倾斜程度，也就是说斜率决定了分界曲线是偏向平缓的，还是偏向垂直的，斜率越大（更陡峭），人工处理的痕迹就越明显。斜率的单位为dB/oct，中文称为分贝每倍频程。虽然绕口，但其实很简单，如6dB/oct，意思为一个倍频程的距离会产生6dB的衰减，数字滤波器常见的斜率选择有6dB/oct，12dB/oct，18dB/oct，24dB/oct，30dB/oct等等（图3）。

scipy.signal.filtfilt(b, a, x, axis=-1, padtype='odd', padlen=None, method='pad', irlen=None)

scipy.signal.butter(N, Wn, btype='low', analog=False, output='ba')

这里假设采样频率为1000hz,信号本身最大的频率为500hz，要滤除10hz以下和400hz以上频率成分，即截至频率为10hz和400hz,则wn1=2*10/1000=0.02,wn2=2*400/1000=0.8。Wn=[0.02,0.8]

Q3: Python中的常用内置函数有哪些呢？

（1）Lambda函数

用于创建匿名函数，即没有名称python求衰减函数的函数。它只是一个表达式，函数体比def简单很多。当python求衰减函数我们需要创建一个函数来执行单个操作并且可以在一行中编写时，就可以用到匿名函数python求衰减函数了。

Lamdba的主体是一个表达式，而不是一个代码块。仅仅能在lambda表达式中封装有限的逻辑进去。

利用Lamdba函数，往往可以将代码简化许多。

（2）Map函数

会将一个函数映射到一个输入列表的所有元素上，比如python求衰减函数我们先创建了一个函数来返回一个大写的输入单词，然后将此函数应有到列表colors中的所有元素。

我们还可以使用匿名函数lamdba来配合map函数，这样可以更加精简。

（3）Reduce函数

当需要对一个列表进行一些计算并返回结果时，reduce()是个非常有用的函数。举个例子，当需要计算一个整数列表所有元素的乘积时，即可使用reduce函数实现。

它与函数的最大的区别就是，reduce()里的映射函数(function)接收两个参数，而map接收一个参数。

（4）enumerate函数

用于将一个可遍历的数据对象(如列表、元组或字符串)组合为一个索引序列，同时列出数据和数据下标，一般用在for循环当中。

它的两个参数，一个是序列、迭代器或其python求衰减函数他支持迭代对象;另一个是下标起始位置，默认情况从0开始，也可以自定义计数器的起始编号。

（5）Zip函数

用于将可迭代的对象作为参数，将对象中对应的元素打包成一个个元组，然后返回由这些元组组成的列表

当我们使用zip()函数时，如果各个迭代器的元素个数不一致，则返回列表长度与最短的对象相同。

Q4: Python气象数据处理与绘图(2)：常用数据计算方法

对于气象绘图来讲，第一步是对数据的处理，通过各类公式，或者统计方法将原始数据处理为目标数据。

按照气象统计课程的内容，我给出了一些常用到的统计方法的对应函数：

在计算气候态，区域平均时均要使用到求均值函数，对应NCL中的dim_average函数，在python中通常使用np.mean()函数

numpy.mean(a, axis, dtype)

假设a为[time,lat,lon]的数据，那么

需要特别注意的是，气象数据中常有缺测，在NCL中，使用求均值函数会自动略过，而在python中，当任意一数与缺测(np.nan)计算的结果均为np.nan，比如求[1,2,3,4，np.nan]的平均值，结果为np.nan

因此，当数据存在缺测数据时，通常使用np.nanmean()函数，用法同上，此时[1,2,3,4，np.nan]的平均值为(1+2+3+4)/4 = 2.5

同样的，求某数组最大最小值时也有np.nanmax(), np.nanmin()函数来补充np.max(), np.min()的不足。

其他很多np的计算函数也可以通过在前边加‘nan’来使用。

另外，

也可以直接将a中缺失值全部填充为0。

np.std(a, axis, dtype)

用法同np.mean()

在NCL中有直接求数据标准化的函数dim_standardize()

其实也就是一行的事，根据需要指定维度即可。

皮尔逊相关系数：

相关可以说是气象科研中最常用的方法之一了，numpy函数中的np.corrcoef(x, y)就可以实现相关计算。但是在这里我推荐scipy.stats中的函数来计算相关系数：

这个函数缺点和有点都很明显，优点是可以直接返回相关系数R及其P值，这避免了我们进一步计算置信度。而缺点则是该函数只支持两个一维数组的计算，也就是说当我们需要计算一个场和一个序列的相关时，我们需要循环来实现。

其中a[time,lat,lon]，b[time]

(NCL中为regcoef()函数)

同样推荐Scipy库中的stats.linregress(x,y)函数：

slop: 回归斜率

intercept：回归截距

r_value： 相关系数

p_value： P值

std_err： 估计标准误差

直接可以输出P值，同样省去了做置信度检验的过程，遗憾的是仍需同相关系数一样循环计算。

关于python求衰减函数和python递减函数的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。