python共轭函数 python共轭复数的输出

Convex functions

说完python共轭函数了凸集，下一个要将的肯定就是凸函数啦~

凸函数的相关性质在优化中的地位不言而喻~！

是凸函数，如果 的定义域是凸集，并且 成立python共轭函数：

如果 时上面的不等号严格成立，那么就说这个函数是 严格凸 的。

几何上看，凸函数要求 和 这条线段位于函数图形的上方。

对应的，python共轭函数我们还有定义“凹函数”，当 是凸函数时， 被称为凹函数。

对于仿射函数，它是既凸又凹的。同时， 既凸又凹的函数只有仿射函数 。

如果 是凸函数，那么 也是凸函数，反过来的结论也成立。这说明，凸函数限制在任何一条直线上都是凸！凸函数的概念完全可以从欧式空间推广到一般的线性空间，在一般的线性空间上，这条性质成为我们判断凸函数的重要依据。

凸函数还具有良好的分析性质，比如，凸函数在它定义域的相对内点集上是连续的；凸函数的不连续点只可能出现在它的相对边界上。

有时候我们会把一个凸函数的定义域延拓到整个 空间中python共轭函数：

可以证明，这样延拓的凸函数也满足凸函数的定义。（在定义好关于 的运算后）。这样的定义在函数表示上有一定的意义。

可微的凸函数满足一阶条件：

这个不等式揭示了凸函数的局部特性，那就是在一点的切平面是整个函数的 global underestimate 。

如果上面的不等号严格成立，那么这个函数是严格凸的。这里的条件是 充分必要 的。

如果定义在 开凸集 上的二阶可微函数 满足 ，那么 是凸函数。

如果 ，那么 是严格凸的。

关于一阶条件和二阶条件的证明，要用到泰勒展开。在此从略。

定义 的 为：

易证 是凸函数的时候 是个凸集。

从而这里给出了判断凸集的另一个方法：能被写成某个凸函数的 -sublevel set 的集合是凸集。反之，一个函数的 sublevel set 是凸的，并不能反推出它是凸函数（事实上这个函数是拟凸的）。

对于 是凹函数有相应的结论： 是凸集。

一个函数的 的 epigraph 是指：

是 的子集，是函数图形的上方。 是凸集当且仅当 是凸函数。 所以 epigraph 也是一种主要的判断凸函数的方法。

对应于凹函数我们定义 hypograph ：

是凸集当且仅当 是凹函数。

琴生不等式是凸函数的重要性质。

对 和 成立：

这是有限个点的情况。该不等式还能扩展到无限和、积分等情况。

 对某些凸函数应用琴生不等式可以得到许多著名的不等式：

比如Holder 不等式：

 在 infinite 的情况下， 对 是凸的，那么 也是凸的。

事实上，绝大多数的凸函数，都能够表示成一族仿射函数的上确界函数，这种方法也是判断凸函数最常用的方法。

透视操作是保持凸（凹）性的。

如果 对 是凸的， 是一个非空凸集，那么 是凸的。

另外，也可以通过 来证明凸性。

定义函数 的共轭函数为： 共轭函数是多个仿射函数的上确界，因此是一定是凸函数。共轭函数的定义域是上确界值有限的 的值。

一些例子：

共轭函数具有鲜明的几何意义：

当 是一元函数的时候，如上图所示， 表示以 为斜率且过原点的直线，与 的图像的最大距离（或者其负数）。

当 是 元函数的时候， 表示以 为法向量（n+1维）且过原点的平面，与 的图像的最大距离（或者其负数）。

非空集合 的示性函数（ indicator function ） 定义为： 的共轭函数是支撑函数 ：

设 代表 中的一种范数，其对偶范数为 ，我们能得到共轭函数：

根据共轭函数的定义，下式是显然的：

应用到上面的例子，还能得到：

如果 是凸函数，并且 是闭集，那么 。

如果 是凸函数并且一阶可微，那么根据凸函数的极值理论，容易得到，使得 最大的 满足：

从而我们有：

欲求 ，只需要解 得到向量

如果 ，且 都是凸函数，那么：

 拟凸函数就是 所有下水平集是凸集 的函数。比如 就不是凸函数，但是是拟凸的。

 很多凸函数具有的良好性质，可以推广到拟凸函数上。

 一个定义在凸集上的函数是拟凸函数， 当且仅当 , ，成立：

 这意味着，线段上的函数值，一定小于等于两个端点函数值最大的那一个。这个既可以当做拟凸函数的性质，也能当做拟凸函数的定义。（关于两种定义等价性的证明，看 这里 ）

针对这个性质还有另一个版本：

来看一些例子。

 类似于凸函数，当函数可微时，可以推导出拟凸函数需要满足的一阶条件和二阶条件。

该条件也有鲜明的几何意义。 导出了过点 的对下水平集 的支撑超平面。（高维情况很难想象，不妨考虑一维情况，这时候支撑超平面就退化为一个点，下水平集是一个区间）

 虽然拟凸函数和凸函数在一阶条件上具有相似性，但是拟凸函数并不能用一阶条件来判断全局的最小值。当 时， 不一定是 global minimizer .

 这个条件，意味着 在 是半正定的，同时 至多有一个负特征值。（ 是一维的，从而 是 维的）

 简单讲， ，并且 是凹函数，那么 就称为对数凹的。

 对数凹还可以用 来定义。从这里看，凸函数可以视作一种“算术平均”，对数凸则是“几何平均”。

  为什么要研究对数凸/凹函数呢python共轭函数？

 统计学中的似然函数，是一个经常要取对数的函数， 欲求参数的极大似然估计值，其实就是一个关于似然函数的优化问题 ，如果似然函数是对数凹的，那么求对数似然函数负值的最小值，就是一个凸优化问题！这是研究对数凹函数的目的所在。

事实上，很多常见的概率分布函数，都是对数凹的。

如果 具有良好的光滑性，通过 的凹凸性，我们可以得到一些关于 的性质：

因为：

于是可以得到 对数凹的一个充要条件：

在一元函数的情况，就是： 。

 此外，对数凸/凹性是对乘法保持封闭的。从 容易看出。如果概率密度函数是对数凹的，那么多个密度函数相乘的结果也是对数凹的。

通过前面提到的广义不等式，可以定义函数的“单调递增”和“严格单调递增”。

例子：

相关问答

Q1: 什么是共轭函数？

e^a+1/e^a,如果a是实数其复共轭就是其本身，如果a=a+bi

e^(a+bi)+e^(-a-bi)=e^a(cosb+isinb)+e^-a(cosb-isinb)=(e^a+e^-a)cosb+isinb(e^a-e^-a)

其复共轭就是(e^a+e^-a)cosb-isinb(e^a-e^-a)，上面是实数也可归结到这一结果，是它b=0时的特殊情况。

Q2: python怎么输出方程的共轭复根

只要能给出方程根的表达式，python就能输出，复数也是。

比如方程    x^2 + x + 1 = 0

∆ = -3 0，有一对共轭复根，直接韦达定理公式扔给python就行

 (-1 + (-3)**(1/2))/2

(-0.49999999999999994+0.8660254037844386j)

 (-1 - (-3)**(1/2))/2

(-0.5-0.8660254037844386j)

Q3: 为什么在python中(8.0+4.2j)/(1-2j)等于-0.08+4.04j？

这是复数的除法计算，化简时要将分母实数化，也就是把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。共轭可以理解为加减号的变换，如1-2j的共轭是1+2j。

关于python共轭函数和python共轭复数的输出的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。