python概率密度函数 python 概率函数

python实现资产配置(2)--Blacklitterman 模型

在 python实现资产配置(1)----Markowitz 投资组合模型 中, 我们已经见过如何使用Markowitz求得最优资产配比. 这是一种在已知未来各资产的概率分布,然后再求解的方法.

Markowitz模型输入参数包括历史数据法和情景分析法两种方法,情景分析法的缺点是主观因素,随意性太强,因此使用历史数据法, 将资产的均值和协方差输入模型是比较常见的作法. 不过, 不足之处很明显: 未来的资产收益率分布不一定与过去相同. 此外, Markowitz 模型结果对输入参数过于敏感.

Black-Litterman模型就是基于此的改进. 其核心思想是将投资者对大类资产的观点 (主观观点) 与市场均衡收益率 (先验预期收益率)相结合,从而形成新的预期收益率(后验预期收益率). 这里的先验预期收益率的分布可以是贝叶斯推断中的先验概率密度函数的多元正态分布形式,投资者的主观观点就是贝叶斯推断中的似然函数(可以看作新的信息, 因为做出主观判断必然是从外界获取得到了这些资产的收益率变化信息), 而相应的, 后验预期收益率也可以从后验概率密度函数中得到. 具体的推导可以看我的这篇文章: 从贝叶斯定理到贝叶斯推断 .

BL模型的求解步骤包括下面几步:

(1) 使用历史数据估计预期收益率的协方差矩阵作为先验概率密度函数的协方差.

(2) 确定市场预期之收益率向量, 也就是先验预期收益之期望值. 作为先验概率密度函数的均值. 或者使用现有的期望值和方差来反推市场隐含的均衡收益率(Implied Equilibrium Return Vector), 不过在使用这种方法时, 需要知道无风险收益率 的大小.

(3) 融合投资人的个人观点,即根据历史数据(看法变量的方差)和个人看法(看法向量的均值)

(4) 修正后验收益.

是均衡收益率协方差的调整系数,可以根据信心水平来判断. 是历史资产收益率的协方差矩阵, P是投资者的观点矩阵, 是似然函数(即投资者观点函数)中的协方差矩阵,其值为 的对角阵, 是先验收益率的期望值.

(5) 投资组合优化: 将修正后的期望值与协方差矩阵即 重新代入Markowitz投资组合模型求解.

(1)定义求解函数,输入为投资者观点P,Q以及目前资产的市场收益率矩阵,输出为后验的市场收益率和协方差矩阵.

(2) 实列分析

我们继续研究 python实现资产配置(1)----Markowitz 投资组合模型 中的五支股票: 白云机场, 福建高速, 华夏银行, 生益科技和浙能电力. 假设现在分析师的观点为:

获取股票数据, 并且获得后验的均值和方差:

这时候,已经可以使用Markowitz模型进行资产的配置. 定义新的函数blminVar以求解资产配置权重. 该函数的输入变量为blacklitterman函数的输出结果, 以及投资人的目标收益率goalRet.假设目标收益率为年化70%,则goalRet = 0.7:

输出结果为:

0-5分别对应上面的五只股票.

相关问答

Q1: 如何用python使变量服从正太分布？

正太分布哈哈

首先，如果想要你的一千万个数据严格服从正态分布，那么先确定这个分布的数据，也就是均值和方差，N(u,o)，这里均值 u=50，方差 o 由你确定，根据正态分布概率密度函数，对于每一个 1~100 之间的整数 x，都可以确定它出现的概率 f(x)：

正态分布概率密度函数

而共有 10 000 000 个数字，那么 10000000*f(x) 就是 x 出现的频率。

因此，使用一个 101 元素的数组 freq[] 存放这些数出现的频率，用 f(x)*10000000 逐个计算数组元素，也就是 x 应该出现的次数，假如说 2 一共会出现 3 次，那么 freq[2]=3，计算出之后放在那里，作为一个参照。再初始化一个全为 0 的 100 个元素的数组 sam[]，记录每个数字已经出现的次数。之后开始从 1~100 随机，每随机一个数字 x 都给 sam[x] 加1，再和 freq[x] 比较，如果超出了 freq[x] 就说明这个数字已经不能再出现了，将其舍弃。记录随机成功的次数，达到了 10000000 次即可。

Q2: 如何用python求出某已知正态分布的概率密度

Python正态分布概率计算方法，喜欢算法的伙伴们可以参考学习下。需要用到math模块。先了解一下这个模块方法，再来写代码会更好上手。

def st_norm(u):

'''标准正态分布'''

import math

x=abs(u)/math.sqrt(2)

T=(0.0705230784,0.0422820123,0.0092705272,

0.0001520143,0.0002765672,0.0000430638)

E=1-pow((1+sum([a*pow(x,(i+1))

for i,a in enumerate(T)])),-16)

p=0.5-0.5*E if u0 else 0.5+0.5*E

return(p)

def norm(a,sigma,x):

'''一般正态分布'''

u=(x-a)/sigma

return(st_norm(u))

while 1:

'''输入一个数时默认为标准正态分布

输入三个数(空格隔开)时分别为期望、方差、x

输入 stop 停止'''

S=input('please input the parameters:\n')

if S=='stop':break

try:

L=[float(s) for s in S.split()]

except:

print('Input error!')

continue

if len(L)==1:

print('f(x)=%.5f'%st_norm(L[0]))

elif len(L)==3:

print('f(x)=%.5f'%norm(L[0],L[1],L[2]))

else:

print('Input error!')

Q3: 如何在Python中实现这五类强大的概率分布

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2015/04/25 · 实践项目 · 概率分布

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英文出处：。欢迎加入翻译组。

R编程语言已经成为统计分析中的事实标准。但在这篇文章中，我将告诉你在Python中实现统计学概念会是如此容易。我要使用Python实现一些离散和连续的概率分布。虽然我不会讨论这些分布的数学细节，但我会以链接的方式给你一些学习这些统计学概念的好资料。在讨论这些概率分布之前，我想简单说说什么是随机变量（random variable）。随机变量是对一次试验结果的量化。

举个例子，一个表示抛硬币结果的随机变量可以表示成Python

X = {1 如果正面朝上,

2 如果反面朝上}

12X = {1 如果正面朝上,

2 如果反面朝上}

随机变量是一个变量，它取值于一组可能的值（离散或连续的），并服从某种随机性。随机变量的每个可能取值的都与一个概率相关联。随机变量的所有可能取值和与之相关联的概率就被称为概率分布（probability distributrion）。

我鼓励大家仔细研究一下scipy.stats模块。

概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function）。离散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和几何分布（geometric distribution）等。

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。正态分布（normal distribution）、指数分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都属于连续概率分布。

若想了解更多关于离散和连续随机变量的知识，你可以观看可汗学院关于概率分布的视频。

二项分布（Binomial Distribution）

服从二项分布的随机变量X表示在n个独立的是/非试验中成功的次数，其中每次试验的成功概率为p。

E(X) = np, Var(X) = np(1?p)

如果你想知道每个函数的原理，你可以在IPython笔记本中使用help file命令。 E(X)表示分布的期望或平均值。

键入stats.binom?了解二项分布函数binom的更多信息。

二项分布的例子：抛掷10次硬币，恰好两次正面朝上的概率是多少？

假设在该试验中正面朝上的概率为0.3，这意味着平均来说，我们可以期待有3次是硬币正面朝上的。我定义掷硬币的所有可能结果为k = np.arange(0,11)：你可能观测到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用stats.binom.pmf计算每次观测的概率质量函数。它返回一个含有11个元素的列表（list），这些元素表示与每个观测相关联的概率值。

您可以使用.rvs函数模拟一个二项随机变量，其中参数size指定你要进行模拟的次数。我让Python返回10000个参数为n和p的二项式随机变量。我将输出这些随机变量的平均值和标准差，然后画出所有的随机变量的直方图。

泊松分布（Poisson Distribution）

一个服从泊松分布的随机变量X，表示在具有比率参数（rate parameter）λ的一段固定时间间隔内，事件发生的次数。参数λ告诉你该事件发生的比率。随机变量X的平均值和方差都是λ。

E(X) = λ, Var(X) = λ

泊松分布的例子：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生4次事故的概率是多少？

让我们考虑这个平均每天发生2起事故的例子。泊松分布的实现和二项分布有些类似，在泊松分布中我们需要指定比率参数。泊松分布的输出是一个数列，包含了发生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用结果生成了以下图片。

你可以看到，事故次数的峰值在均值附近。平均来说，你可以预计事件发生的次数为λ。尝试不同的λ和n的值，然后看看分布的形状是怎么变化的。

现在我来模拟1000个服从泊松分布的随机变量。

正态分布（Normal Distribution）

正态分布是一种连续分布，其函数可以在实线上的任何地方取值。正态分布由两个参数描述：分布的平均值μ和方差σ2 。

E(X) = μ, Var(X) = σ2

正态分布的取值可以从负无穷到正无穷。你可以注意到，我用stats.norm.pdf得到正态分布的概率密度函数。

β分布（Beta Distribution）

β分布是一个取值在 [0, 1] 之间的连续分布，它由两个形态参数α和β的取值所刻画。

β分布的形状取决于α和β的值。贝叶斯分析中大量使用了β分布。

当你将参数α和β都设置为1时，该分布又被称为均匀分布（uniform distribution）。尝试不同的α和β取值，看看分布的形状是如何变化的。

指数分布（Exponential Distribution）

指数分布是一种连续概率分布，用于表示独立随机事件发生的时间间隔。比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

我将参数λ设置为0.5，并将x的取值范围设置为 $[0, 15]$ 。

接着，我在指数分布下模拟1000个随机变量。scale参数表示λ的倒数。函数np.std中，参数ddof等于标准偏差除以 $n-1$ 的值。

结语（Conclusion）

概率分布就像盖房子的蓝图，而随机变量是对试验事件的总结。我建议你去看看哈佛大学数据科学课程的讲座，Joe Blitzstein教授给了一份摘要，包含了你所需要了解的关于统计模型和分布的全部。

Q4: 统计学入门级：常见概率分布+python绘制分布图

如果随机变量Xpython概率密度函数的所有取值都可以逐个列举出来python概率密度函数，则称X为离散型随机变量。相应的概率分布有二项分布，泊松分布。

如果随机变量X的所有取值无法逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点，则称X为连续型随机变量。相应的概率分布有正态分布，均匀分布，指数分布，伽马分布，偏态分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)

在离散型随机变量X的一切可能值中，各可能值与其对应概率的乘积之和称为该随机变量X的期望值，记作E(X) 。比如有随机变量，取值依次为：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。

期望值也就是该随机变量总体的均值。 推导过程如下：

= (2+2+2+4+5)/5

= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5

= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5

= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5

= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5

= 1.2 + 0.8 + 1

= 3

倒数第三步可以解释为值为2的数字出现的概率为60%，4的概率为20%，5的概率为20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。

0-1分布（两点分布），它的随机变量的取值为1或0。即离散型随机变量X的概率分布为：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：

则称随机变量X服从参数为p的0-1分布，记作X~B（1，p)。

在生活中有很多例子服从两点分布，比如投资是否中标，新生婴儿是男孩还是女孩，检查产品是否合格等等。

大家非常熟悉的抛硬币试验对应的分布就是二项分布。抛硬币试验要么出现正面，要么就是反面，只包含这两个结果。出现正面的次数是一个随机变量，这种随机变量所服从的概率分布通常称为 二项分布 。

像抛硬币这类试验所具有的共同性质总结如下：（以抛硬币为例）

通常称具有上述特征的n次重复独立试验为n重伯努利试验。简称伯努利试验或伯努利试验概型。特别地，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布(两点分布)。

举个栗子：抛3次均匀的硬币，求结果出现有2个正面的概率 。

已知p = 0.5 (出现正面的概率) ，n = 3 ，k = 2

所以抛3次均匀的硬币，求结果出现有2个正面的概率为3/8。

二项分布的期望值和方差 分别为：

泊松分布是用来描述在一 指定时间范围内或在指定的面积或体积之内某一事件出现的次数的分布 。生活中服从泊松分布的例子比如有每天房产中介接待的客户数，某微博每月出现服务器瘫痪的次数等等。 泊松分布的公式为 ：

其中 λ 为给定的时间间隔内事件的平均数，λ = np。e为一个数学常数，一个无限不循环小数，其值约为2.71828。

泊松分布的期望值和方差 分别为：

使用Python绘制泊松分布的概率分布图：

因为连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值，所以通常用一个函数f(x)来表示连续型随机变量，而f(x)就称为 概率密度函数 。

概率密度函数f(x)具有如下性质 ：

需要注意的是，f(x)不是一个概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在连续分布的情况下，随机变量X在a与b之间的概率可以写成：

正态分布（或高斯分布）是连续型随机变量的最重要也是最常见的分布，比如学生的考试成绩就呈现出正态分布的特征，大部分成绩集中在某个范围（比如60-80分），很小一部分往两端倾斜（比如50分以下和90多分以上）。还有人的身高等等。

正态分布的定义 ：

如果随机变量X的概率密度为( -∞x+∞)：

则称X服从正态分布，记作X~N(μ,σ²)。其中-∞μ+∞，σ0， μ为随机变量X的均值，σ为随机变量X的标准差。 正态分布的分布函数

正态分布的图形特点 ：

使用Python绘制正态分布的概率分布图：

正态分布有一个3σ准则，即数值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率为0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率为0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率为0.9973，也就是说大部分数值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)区间内，超出这个范围的可能性很小很小，仅占不到0.3%，属于极个别的小概率事件，所以3σ准则可以用来检测异常值。

当μ=0，σ=1时，有

此时的正态分布N(0,1) 称为标准正态分布。因为μ，σ都是确定的取值，所以其对应的概率密度曲线是一条 形态固定 的曲线。

对标准正态分布，通常用φ(x)表示概率密度函数，用Φ(x)表示分布函数：

假设有一次物理考试特别难，满分100分，全班只有大概20个人及格。与此同时语文考试很简单，全班绝大部分都考了90分以上。小明的物理和语文分别考了60分和80分，他回家后告诉家长，这时家长能仅仅从两科科目的分值直接判断出这次小明的语文成绩要比物理好很多吗？如果不能，应该如何判断呢？此时Z-score就派上用场了。 Z-Score的计算定义 ：

即 将随机变量X先减去总体样本均值，再除以总体样本标准差就得到标准分数啦。如果X低于平均值，则Z为负数，反之为正数 。通过计算标准分数，可以将任何一个一般的正态分布转化为标准正态分布。

小明家长从老师那得知物理的全班平均成绩为40分，标准差为10，而语文的平均成绩为92分，标准差为4。分别计算两科成绩的标准分数：

物理：标准分数 = (60-40)/10 = 2

语文：标准分数 = (85-95)/4 = -2.5

从计算结果来看，说明这次考试小明的物理成绩在全部同学中算是考得很不错的，而语文考得很差。

指数分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布强调的是某段时间内随机事件发生的次数的概率分布，而指数分布说的是 随机事件发生的时间间隔 的概率分布。比如一班地铁进站的间隔时间。如果随机变量X的概率密度为：

则称X服从指数分布，其中的参数λ0。 对应的分布函数 为：

均匀分布的期望值和方差 分别为：

使用Python绘制指数分布的概率分布图：

均匀分布有两种，分为 离散型均匀分布和连续型均匀分布 。其中离散型均匀分布最常见的例子就是抛掷骰子啦。抛掷骰子出现的点数就是一个离散型随机变量，点数可能有1，2，3，4，5，6。每个数出现的概率都是1/6。

设连续型随机变量X具有概率密度函数：

则称X服从区间(a,b)上的均匀分布。X在等长度的子区间内取值的概率相同。对应的分布函数为：

f(x)和F(x)的图形分别如下图所示：

均匀分布的期望值和方差 分别为：

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