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图像分析：边缘检测中的梯度算子

边缘检测 是基于边界的图像分割方法的第一步，边缘就是两个不同的相邻区域之间 灰度值 不连续或者突变的地方。因此，检测边缘就是，检测灰度明显变化的地方。而边缘位置处灰度的明显变化是可以借助计算灰度的微分来检测的。一般使用一阶微分和二阶微分检测边缘，在边缘位置，一阶微分的幅度值会有局部极值，二阶微分的幅度值会出现过零点。本文主要介绍边缘检测中的一阶微分算子----梯度算子，包括Roberts、Prewitt和Sobel三种算子。

想要计算梯度图，就要设计模板卷积，首先要搞明白图像在计算时的坐标系，很多博文对应的模板和坐标系都不匹配，我们在后面的卷积操作中主要使用计算坐标系。

左图Cameraman所用的坐标系统，常用在图像计算中。其坐标原点在左上角，x轴是水平的，并且向右延伸；y是垂直的，并且向下延伸。 既可以代表这幅图像，也可以表示 坐标处像素的值。

右图Lena的坐标系统，常用在屏幕显示中，因为屏幕扫描是从左向右，从上向下进行的，原点在图像的左上角，纵轴标记图像的行，横轴标记图像的列。 既可以代表这个图像，也可以代表 行列交点处的图像值。

首先我们要知道的是梯度是一个向量，向量的话有方向和大小，梯度方向指向函数变化最快的方向，大小就是它的模，也是最大的变化率。对于二元函数 ，它在点 的梯度就是 , 或者 ，就是：

其中， ，这个梯度向量的幅度和方向角为

下图展示了一个灰度图的数学化表达，像素点 的灰度值是 ,它有八个邻域。

图像在点 的梯度为

其中

即 对应图像的水平方向， 即 对应水图像的竖直方向。

要理解梯度图的生成，就要先了解模板卷积的过程。

模板卷积是模板运算的一种方式，其步骤如下：

（1）将模板在输入图像中漫游，并将模板中心与图像中某个像素位置重合；

（2）将模板上各个系数与模板下各对应像素的灰度相乘；

（3）将所有乘积相加（为保持灰度范围，常将结果再除以模板系数之和，后面梯度算子模板和为0的话就不需要除了）；

（4）将上述运算结果（模板的响应输出）赋给输出图像中对应模板中心位置的像素。

其实梯度图生成前面和模板卷积相同，不同的是要生成梯度图，还需要在模板卷积完成后计算在点 梯度的幅值，将幅值作为像素值，这样才算完。 。

下图是生成梯度图用到的的水平模板和竖直模板：

例如，如果只想生成水平方向的梯度图，那么只计算水平方向的梯度 ，则梯度图上对应点 的灰度值就是

一般是水平方向的 和竖直方向的 各用一个模板，然后结合，那么得到梯度图在点 的灰度值就是

它就是我们上面说到的梯度的幅值，是以计算以2为范数，对应欧式距离，由于涉及平方和开方运算，计算量比较大。（怎么简化计算呢？？换一种近似计算方式吧！！！）

在真实的梯度图输出计算中，采用以1为范数（对应城区距离）的简单计算方式，即

另一种简单的方式是以 为范数（对应棋盘距离），即

首先了解下梯度算子的设计，一般是水平方向和竖直方向，水平方向模板转置再对折就是竖直方向。

其本质是一个对角线方向的梯度算子，对应的水平方向和竖直方向的梯度分别为

输出梯度图在 的灰度值为

优点：边缘定位较准

缺点：（1）没有描述水平和竖直方向的灰度变化，只关注了对角线方向，容易造成遗漏。（2）鲁棒性差。由于 点本身参加了梯度计算，不能有效的抑制噪声的干扰。

适用于边缘明显且噪声较少的图像。

Prewitt算子是典型的 模板，其模板中心对应要求梯度的原图像坐标 ， 对应的8-邻域的像素灰度值如下表所示：

通过Prewitt算子的水平模板 卷积后，对应的水平方向梯度为

通过Prewitt算子的竖直模板 卷积后，对应的竖直方向梯度为

输出梯度图在 的灰度值为

Prewitt算子引入了类似局部平均的运算，对噪声具有平滑作用，较Roberts算子更能抑制噪声。

通过Prewitt算子的水平模板 卷积后，对应的水平方向梯度为

通过Prewitt算子的竖直模板 卷积后，对应的竖直方向梯度为

输出梯度图在 的灰度值为

Sobel算子引入了类似局部加权平均的运算，对边缘的定位比要比Prewitt算子好。

Python 调用OpenCV接口实现Sobel算子边缘检测

相关问答

Q1: OpenCV-Python系列四：图像分割(2)--梯度

上一期提到的图像阈值处理，不仅可以实现获取你想要的目标区域(作为mask使用)，还可以帮你获取图像的边缘信息，那关于图像边缘，本期将从另外的角度来处理。

对边缘信息与背景差异较大的场景，你也可以使用threshold分割，不过若阈值不好选取，Laplacian梯度算子就不失为一直尝试方案，而且上网看看，关于Laplacian算子还可以用来判断图像的模糊程度，这个在相机的自动对焦当中，是否可以尝试判断下？

不过处理的效果并不理想，图像低灰阶部分边缘信息丢失严重。

对于sobel，laplacian算子我们可以使用cv2.filter2D()来实现，配置相应的核模板即可，如实现提取水平方向边缘信息：

你可以依据实际的应用需求来配置提取边缘的角度信息，这里以45度角(垂直向下逆时针旋转45度)为例：

对此，你可以采用下面的方式来解决：

Q2: Python怎么做最优化

一、概观scipy中的optimize子包中提供了常用的最优化算法函数实现。我们可以直接调用这些函数完成我们的优化问题。optimize中函数最典型的特点就是能够从函数名称上看出是使用了什么算法。下面optimize包中函数的概览：1.非线性最优化fmin -- 简单Nelder-Mead算法fmin_powell -- 改进型Powell法fmin_bfgs -- 拟Newton法fmin_cg -- 非线性共轭梯度法fmin_ncg -- 线性搜索Newton共轭梯度法leastsq -- 最小二乘2.有约束的多元函数问题fmin_l_bfgs_b ---使用L-BFGS-B算法fmin_tnc ---梯度信息fmin_cobyla ---线性逼近fmin_slsqp ---序列最小二乘法nnls ---解|| Ax - b ||_2 for x=03.全局优化anneal ---模拟退火算法brute --强力法4.标量函数fminboundbrentgoldenbracket5.拟合curve_fit-- 使用非线性最小二乘法拟合6.标量函数求根brentq ---classic Brent (1973)brenth ---A variation on the classic Brent（1980）ridder ---Ridder是提出这个算法的人名bisect ---二分法newton ---牛顿法fixed_point7.多维函数求根fsolve ---通用broyden1 ---Broyden’s first Jacobian approximation.broyden2 ---Broyden’s second Jacobian approximationnewton_krylov ---Krylov approximation for inverse Jacobiananderson ---extended Anderson mixingexcitingmixing ---tuned diagonal Jacobian approximationlinearmixing ---scalar Jacobian approximationdiagbroyden ---diagonal Broyden Jacobian approximation8.实用函数line_search ---找到满足强Wolfe的alpha值check_grad ---通过和前向有限差分逼近比较检查梯度函数的正确性二、实战非线性最优化fmin完整的调用形式是：fmin(func, x0, args=(), xtol=0.0001, ftol=0.0001, maxiter=None, maxfun=None, full_output=0, disp=1, retall=0, callback=None)不过我们最常使用的就是前两个参数。一个描述优化问题的函数以及初值。后面的那些参数我们也很容易理解。如果您能用到，请自己研究。下面研究一个最简单的问题，来感受这个函数的使用方法：f(x)=x**2-4*x+8，我们知道，这个函数的最小值是4，在x=2的时候取到。from scipy.optimize import fmin #引入优化包def myfunc(x):return x**2-4*x+8 #定义函数x0 = [1.3] #猜一个初值xopt = fmin(myfunc, x0) #求解print xopt #打印结果运行之后，给出的结果是：Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 16Function evaluations: 32[ 2.00001953]程序准确的计算得出了最小值，不过最小值点并不是严格的2，这应该是由二进制机器编码误差造成的。除了fmin_ncg必须提供梯度信息外，其他几个函数的调用大同小异，完全类似。我们不妨做一个对比：from scipy.optimize import fmin,fmin_powell,fmin_bfgs,fmin_cgdef myfunc(x):return x**2-4*x+8x0 = [1.3]xopt1 = fmin(myfunc, x0)print xopt1printxopt2 = fmin_powell(myfunc, x0)print xopt2printxopt3 = fmin_bfgs(myfunc, x0)print xopt3printxopt4 = fmin_cg(myfunc,x0)print xopt4给出的结果是：Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 16Function evaluations: 32[ 2.00001953]Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 2Function evaluations: 531.99999999997Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 2Function evaluations: 12Gradient evaluations: 4[ 2.00000001]Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 2Function evaluations: 15Gradient evaluations: 5[ 2.]我们可以根据给出的消息直观的判断算法的执行情况。每一种算法数学上的问题，请自己看书学习。个人感觉，如果不是纯研究数学的工作，没必要搞清楚那些推导以及定理云云。不过，必须了解每一种算法的优劣以及能力所及。在使用的时候，不妨多种算法都使用一下，看看效果分别如何，同时，还可以互相印证算法失效的问题。在from scipy.optimize import fmin之后，就可以使用help(fmin)来查看fmin的帮助信息了。帮助信息中没有例子，但是给出了每一个参数的含义说明，这是调用函数时候的最有价值参考。有源码研究癖好的，或者当你需要改进这些已经实现的算法的时候，可能需要查看optimize中的每种算法的源代码。在这里：https:/ / github. com/scipy/scipy/blob/master/scipy/optimize/optimize.py聪明的你肯定发现了，顺着这个链接往上一级、再往上一级，你会找到scipy的几乎所有源码！

Q3: Python 高阶函数的使用

1. Python有哪些高阶函数，功能分别是什么

Python有三大高阶函数，分别是 map 、 reduce 、 filter 函数。

2. map高阶函数

map函数有两个参数，第一个参数要求传递一个函数对象，第二个参数要求传递一个可迭代序列。直接看案例

运行结果：

3. reduce高阶函数

reduce高阶函数位于functools模块中，使用前需要先进行导入。reduce高阶函数可以有三个参数，第一个参数要求传递一个函数对象（必传），第二个参数要求传递一个可迭代序列（必传），第三个函数是一个初始值（不必传，可以有默认值）。直接看案例

运行结果：

4. filter高阶函数

filter高阶函数有两个参数，第一个参数是一个函数对象，第二个参数是一个可迭代序列。直接看案例

运行结果：