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海伦公式是什么

1、先来看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，

其中P=(A+B+C)/2

A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。

2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）

S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]

=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）]

变形1

=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]}

变形2

=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]}

变形3

=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^]

变形4

3、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为

A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y

根据勾股定理可得以下三式：

X=A-Y

第1式

H^=B^-Y^

第2式

H^=C^-X^

第3式

根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^

第4式

把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得

Y=（A^-C^+B^）/2A

第5式

根据第2式可得

H=√（B^-Y^）

=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]

={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A

三角形面积S=（1/2）*AH

=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A

=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^

]

这个等式就是海伦公式的变形4，故得证。

相关问答

Q1: 什么是海伦公式?

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则

S△ABC = aha= ab×sinC = r p

= 2R2sinAsinBsinC =

=

其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、 海伦公式的变形

S=

= ①

= ②

= ③

= ④

= ⑤

二、 海伦公式的证明

证一 勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =

ha = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，

若BD=u，DC=v,AD=t.则

t 2 =

证明：由证一可知，u = v =

∴ ha 2 = t 2 = －

∴ S△ABC = aha = a ×

=

此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S =

则要证S =

=

= ab×sinC

此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么

tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1

证明：如图，tg = ①

tg = ②

tg = ③

根据恒等式，得：

+ + =

①②③代入，得：

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x

∴x = 同理：y = z =

代入 ④，得： r 2 · =

两边同乘以 ，得：

r 2 · =

两边开方，得： r · =

左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理

半角定理：tg =

tg =

tg =

证明：根据tg = = ∴r = × y ①

同理r = × z ② r = × x ③

①×②×③,得： r3 = ×xyz

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明

与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}

因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)

= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

最后的等号部分可用因式分解予以导出。

Q2: 海伦公式如何求三角形面积？

海伦公式：s＝sqrt（p＊（p－a）（p－b）（p－c））

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：s＝sqrt（p＊（p－a）（p－b）（p－c））

而公式里的p为半周长（周长的一半）：p＝1／2（a＋b＋c）

扩展资料

计算半周长

s＝（a＋b＋c）／2

计算面积

area＝（s＊（s－a）＊（s－b）＊（s－c））＊＊0.5

print（＇三角形面积为％0.2f＇％area）

用到了input输入，float类型转换。且根据三条构成条件使用while做循环判断，最后利用海伦公式，借助幂次运算函数完成了python的学习。

Q3: 为什么python海伦公式不能用sqrt

虽然看起来sqrt（10）跟 10**05是一样的结果，但是实际上是有区别的。一个是开平方根，一个是乘方，最简单的，开平方根的那个数不能是负数，而负数的乘方运算是可以的。

Q4: 求算三角形面积的海伦公式

只要已知三角形的三条边长，就可以求三角形的面积，公式：若已知三角形的三条边长分别为a、b、c，S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c) (p为三角形周长的一半，即p=1/2(a+b+c))。

证明的核心在于内切圆与角、面积之间的关系。利用内切圆可以用两种方式来求三角形的面积，由此建立等量关系，最后可以整理出海伦公式。

扩展资料：

注意事项：

三角形的底就是其中一条边，通常指位于底部的侧边，高是从底边到三角形顶部最高点的长度。当从三角形的底边向对面顶点作垂线，画出的这条线段就是三角形的高。这些信息应该是已知的，或是可以通过测量得到的。

由于直角三角形的两条边是相互垂直的，因此一条直角边相对于另一条直角边来说就是三角形的高，另一条边就是底边。因此就算没有明确给出底边长和高，但如果已知两条直角边长，就相当于知道底边长和高。

参考资料来源：百度百科-海伦公式

Q5: python计算三角形面积

（1）首先需要知道三角形是如何根据三边的长度计算面积的，就需要知道海伦公式。

（2）定义三个变量，用于表示三角形的三条边。

a=input("请输入一条边a=")

a=float(a)

b=input("请输入一条边b=")

b=float(b)

c=input("请输入一条边c=")

c=float(c)

（3）引入海伦公式的计算方法，求取三角形面积。

s=(p*(p-a)*(p-c)*(p-b))**0.5

p=(a+b+c)/2

（4）最后写上输出语句，对三角形的面积进行输出。

（5）运行这个程序，就可以看到最终结果，这样就完成了。