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多元函数的极限求法有几种？

多元函数的极限求法有十种，分别为：

1、利用极限四则运算性质或者函数连续性求极限

2、利用恒等变形求极限，主要是消去分母中极限为零的因子（分子分母有理化）

3、利用等价无穷小求极限

4、利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量求极限

5、利用夹逼准则

6、利用两个重要极限

7、利用极坐标法

8、利用取对数法

9、运用洛必达法则求二元函数的极限

10、利用二元函数极限定义求二元函数极限

扩展资料：

夹逼准则

夹逼定理是有关函数极限的定理。它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

定义为如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：当n＞N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞a+∞,则数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。

洛必达法则求多元函数极限的应用条件

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

参考资料来源：百度百科-多元函数

相关问答

Q1: 多元函数如何求极限？

多元函数的极限在高等数学中是非常重要的，但多元函数的自变量太多计算起来太过复杂，而一元函数的极限看起来就相对容易些，因此把多元函数极限转化为一元函数的极限来求解。

例如：

1、lim(x,y)-(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²

= lim(u-0) sinu / u = 1

2、f(x,y) = x²y / (x²+y²)

∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|

lim(x,y)-(0,0) |x| = 0

∴ lim(x,y)-(0,0) x²y / (x²+y²) = 0

多元函数求极限定理介绍

定理1：设f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)的某去心邻域内有定义，cosα，cosβ，cosγ是向量(x-x0，y-y0，z-z0)的方向余弦，若limk0f(x0+kcosα，y0+kcosβ，z0+kcosγ)=A则

(1)当A是与α，β，γ的取值无关的常数时，limxx0yy0zz0f(x，y，z)=A。

(2)当A是与α，β，γ的取值有关的常数时，limxx0yy0zz0f(x，y，z)不存在。

推论(1)设f(x，y，z)在点(0，0，0)的某去心邻域内有定义，cosα，cosβ，cosγ是向量(x，y，z)的方向余弦，若limk0f(kcosα，kcosβ，kcosγ)=A则

(1)当A是与α，β，γ的取值无关的常数时，limxx0yy0zz0f(x，y，z)=A。

(2)当A是与α，β，γ的取值有关的常数时，limxx0yy0zz0f(x，y，z)不存在。

以上内容参考 百度百科—极限

Q2: 多元函数的极限是什么？

多元函数的极限是：

在某个点附近（就是邻域啦，一维是一维邻域，n维是n维邻域）的函数值无限逼近该点的函数值，一维和多维比价大一点的区别在于，1维趋于某点的方式只有两个（左和右），但多维可以以任何方式，趋于某点。

多元函数的性质：

在一元函数中，导数和微分是等价的，但是在多元函数中却不是这样。为了更好的理解多元函数微分学，建议复习一下解析几何有关直线和平面的方程，通过数形结合的方式理解多元函数微分学。推荐知乎马同学的系列文章，直观的理解多元函数微分学中的重要概念。

Q3: 多元函数的极限

多元函数的极限是多元函数微分学中非常重要的一个基础概念。本篇文章是我在微积分的学习中为了巩固多元函数极限的知识而记录的，方便随时进行复习。本文主要对多元函数的多重极限的基本概念进行了梳理，及一些求解的方法归档。

话不多说，看定义！

这种 定义十分高大上，然而却不像是说的人话，很多同学一看见就一脸懵逼。然而有的试卷偏偏喜欢出类似的证明题，同学们一旦碰到运用定义的来解决的题，就抓耳挠腮，或是想不起来定义的具体内容，或是不知道究竟如何运用它去说明极限存在。

接下来，我们对它的重点进行逐项分析，搞懂它究竟表达的是什么意思，通过这种方式来巩固对定义的记忆。

总结一下，原来的定义可以翻译为：

记住！根据邻域的概念，这个区域既可以是无限趋近于 点时函数值才趋近于 ，也可以是 点外一圈区域内都有函数值正好等于 。这正好与我们极限的几何意义完全符合。

通过这种方式，定义是不是比原来容易理解多了呢？希望通过这种方式，大家都能记住二重极限的 定义，并运用到证明中。

要点就是根据公式数学上的关系，尽量使得能够将原式推导到一个“ ”的关系上。通过 能任意取值，说明这样一个 也必存在。满足定义所有条件，则极限存在。

存在且值为0。

本题的一个关键点在于夹逼准则的变化应用。注意到我们在求解中采用了取绝对值的方式替换原表达式，以方便进行夹逼准则的使用。但是这样的做法解出来的不是绝对值的极限吗？为什么就能得到原来的结果了呢？首先请牢牢记住以下结论！

当极限为0时，绝对值的极限=原表达式的极限。

证明该结论的方法依然是利用 夹逼准则 ，当极限为0时，

又因为： ，利用夹逼准则就可以得到原极限也等于0啦。

证明极限不存在的方法，总体来说就只有一种，就是利用二维面上不同于一维上只能从坐标轴左右趋近于点，而是可以从无数条路线趋近于聚点的特点，只要任意线路趋近的极限不等于其他的极限，则极限不存在。

具体而言，首先可以用带任意系数的直线系 趋近。只要代入原函数后无法消掉系数 ，则说明此时极限必与 相关且不唯一极限不存在。

其次，若系数能够被消掉，则可以巧妙运用不同的曲线，如抛物线、直线、圆弧等来趋近于该点。若任意二者之间代入算出来的极限不等，也说明极限不存在。选取曲线时应根据原函数的特点。

Q4: 多元函数的极限怎么求

多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：

例如：

1.lim(x,y)-(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²

= lim(u-0) sinu / u = 1

2.f(x,y) = x²y / (x²+y²)

∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|

lim(x,y)-(0,0) |x| = 0

∴ lim(x,y)-(0,0) x²y / (x²+y²) = 0

在如图的题目中，这里都是应用偏导数的定义

记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x

同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y

显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3

扩展资料：

求多元函数的注意事项：

二元函数的极限成一元函数的极限，即将二重极限化成累次极限，在很多情况下方便求极限（但是有个限制条件，必须是二重极限和累次极限都存在的情况下才能这么做）

2.在某些情况下直接计算二重极限比较方便，例如lim(x→0,y→1)[(x^2+3x)/xy]=lim(x→0,y→0)[(x+3)/y]=3 。这个可以在最后一步时将x,y的极限值直接代入 

3.二重极限化累次极限是有限定条件的，不满足条件则不能化成累次极限。

参考资料来源：百度百科-极限 （数学术语）

Q5: 多元函数的极限的问题呢

我们讨论函数的极限,是在函数的定义域中讨论，对于定义域边界上的的点，讨论函数在该点的极限也是考察它在定义域中的一个邻域中的情况，与边界外的点无关。所以，对边界上的点也是可以存在极限的。例如，对一元函数y=√sinx/√x，0是定义域（0，+∞)的端点，x趋于+0时，limy=1极限存在。

PS，对一元函数在区间端点处讨论极限，我们可以讨论其左或右极限，但对于多元函数没有了左右极限的概念，对于边界点的极限和内点的极限一样讨论，只是在讨论时我们只关注该点的某个邻域在定义区域内的那部分，这也是我们必须引入聚点概念的一个原因。边界点若不是聚点则函数在这点就没有极限了。