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傅立叶变换

傅立叶变换是一种正交变换，它可以将傅立叶变换前的空间域中的复杂卷积运算，转化为傅立叶变换后的频率域的简单乘积运算。不仅如此，它还可以在频率域中简便而有效地实现图像增强，并进行特征提取。因此它在图像处理包括遥感图像的应用处中得到很广泛的应用。

傅立叶变换在数学中有严格的定义，先介绍一维傅立叶变换。对一个连续函数f（x）等间隔采样，可得到一个离散序列。如果采N个样，则这个离散序列可表示为 ｛f（0），f（1），f（2），…，f（N-1）｝。借助这种表达，并令 x 为离散实变量，u 为离散频率变量，可将离散傅立叶变换对定义为：

中亚地区高光谱遥感地物蚀变信息识别与提取

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在以下讨论中认为f（x）是实函数，但一般F（u）是复函数，可以写成：

F（u）=R（u）+ jI（u） （5-9）

其中，R（u）和I（u）分别为F（u）的实部和虚部。上式也常写成指数形式：

F（u）=IF（u）｜ exp［ j（u）］ （5-10）

其中：

｜ F（u）｜=（Rz（u）+Iz（U））1/2

F（u）=arctan（I（u）/R（u））

上两式中，幅度函数，｜ F（u）｜ 也称为f（x）的傅立叶频谱，F（u）称为相位角。频谱的平方称为f（x）的功率谱或频谱密度，记为P（u）；

P（u）=｜ F（u）｜2=R2（u）+ I2（u） （5-11）

与一维傅立叶变换类似，可定义二维函数的傅立叶变换的频谱、相位角和功率谱分别为：

F（u，v）=｜ R2（u，υ）+ I2（u，v）1/2 （5-12）

φ（u，v）=arctan（I（u，υ））/R（u，υ） （5-13）

P（u，v）=｜ F（u，v）｜2=R2（u，v）+ I2（u，v） （5-14）

图5-8（a）给出了二维图像函数的透视图，这里有Z=f（x，y）。这个函数在以原点为中心的一个正方形内为正值常数，而在其他地方为零；图5-8（b）不给出了它的灰度图显示；图5-8（c）给出了这个二维图像函数傅立叶频谱幅度的灰度图显示。

图5-8 二维图像函数和傅立叶频谱的显示

相关问答

Q1: 傅立叶函数的复指数形式与三角函数形式区别?

前者是傅立叶变换:∫f(x)e^(-iωx)dx = ∫f(x) [cos(ωx) - i sin(ωx)]dx

后者是傅立叶级数:f(x) = a0/2 + ∑an*cos(ωx) +

bn*sin(ωx)

也就是虚部得到的Sin系数亦即级数中Sin的系数

Q2: matlab自定义函数如何做激活函数

制领域的时域图用一下方法是可以实现的。

首先：想办法读出样本点，x=(),y=() (在7.0里用小括号就可以了，不同版本可以自行改一下）

之后可参见如下方法，我也是转载ilove.MATLAB论坛上的方法 用过很好用

转载：“在Matlab 6.5以上的环境下，在左下方有一个"Start"按钮，如同Windows的开始菜单，点开它，在目录"Toolboxes"下有一个"Curve Fitting"，点开"Curve Fitting Tool"，出现数据拟合工具界面，基本上所有的数据拟合和回归分析都可以在这里进行。

下面给你简单介绍一下它的使用方法。

首先在Matlab的命令行输入两个向量，一个向量是你要的x坐标的各个数据，另外一个是你要的y坐标的各个数据。输入以后假定叫x向量与y向量，可以在workspace里面看见这两个向量，要确保这两个向量的元素数一致，如果不一致的话是不能在工具箱里面进行拟合的。

例如在命令行里输入下列数据:

x=(0:0.02:0.98)';

y=sin(4*pi*x+rand(size(x)));

此时x-y之间的函数近似的为正弦关系，频率为2，但是存在一个误差项。

可以通过作图看出它们的大体分布:

plot(x,y,'*','markersize',2);

打开曲线拟合共工具界面，点击最左边的"Data..."按钮，出现一个Data对话框，在Data Sets页面里，在X Data选项中选取x向量，Y Data选项中选取y向量，如果两个向量的元素数相同，那么Create data set按钮就激活了，此时点击它，生成一个数据组，显示在下方Data Sets列表框中。关闭Data对话框。此时Curve Fitting Tool窗口中显示出这一数据组的散点分布图。

点击Fitting...按钮，出现Fitting对话框，Fitting对话框分为两部分，上面为Fit Editor，下面为Table of Fits,有时候窗口界面比较小，Fit Editor部分会被收起来，只要把Table of Fits上方的横条往下拉就可以看见Fit Editor。在Fit Editor里面点击New Fit按钮，此时其下方的各个选框被激活，在Data Set选框中选中刚才建立的x-y数据组，然后在Type of fit选框中选取拟合或回归类型，各个类型的拟合或回归相应的分别是：

Custom Equations 用户自定义函数

Expotential e指数函数

Fourier 傅立叶函数，含有三角函数

Gaussian 正态分布函数，高斯函数

Interpolant 插值函数，含有线性函数，移动平均等类型的拟合

Polynomial 多项式函数

Power 幂函数

Rational 有理函数（不太清楚，没有怎么用过）

Smooth Spline ？？（光滑插值或者光滑拟合，不太清楚）

Sum of sin functions正弦函数类

Weibull 威布尔函数（没用过）

不好意思，没有学过数理统计，所以很多东西都是用了才知道，翻译也就不太准确。不过在Type of fit选框下方有一个列表框，基本上各个函数类里的函数都写成解析式列在下方以供选择，所以找合适的函数还是比较容易的。

在这个Type of fit选框中选择好合适的类型，并选好合适的函数形式。于是点击Apply按钮，就开始进行拟合或者回归了。此时在Curve Fitting Tool窗口上就会出现一个拟合的曲线。这就是所要的结果。

在上面的例子中，选择sum of sin functions中的第一个函数形式，点击Apply按钮，就可以看见拟合得到的正弦曲线。

在Fitting对话框中的Results文本框中显示有此次拟合的主要统计信息，主要有

General model of sin1:

....... (函数形式）

Coefficients (with 95% conffidence range) (95%致信区间内的拟合常数）

a1=... ( ... ...) （等号后面是平均值，括号里是范围）

....

Godness of fit: (统计结果）

SSE: ... （方差）

R-squared: ... (决定系数，不知道做什么的）

Adjusted R-squared: ... (校正后的决定系数，如何校正的不得而知）

RMSE: ... (标准差）

上面的例子中经过拟合得到的函数最后为

y=0.9354*sin(12.36x+6.886)

频率为1.98加减0.03，和原来设置的频率为2符合，相对误差为1.5%。

这是曲线拟合工具箱的一个最简单的使用方法，上面还有很多功能，写是写不完的，自己参照这个基本的思路，翻着英汉词典，看着帮助，然后一个按钮一个按钮的试吧。

另外要说的是，如果想把这个拟合的图像导出的话，在Curve Fitting Tool窗口的File菜单下选Print to Figure，此时弹出一个新的图像窗口，里面是你要导出的图像，在这个figure窗口的File菜单里再选Export，选择好合适的格式，一般是jpeg，选择好路径，点击OK就可以了。出来的图像可以在Word等编辑环境中使用，就不多说了。

要修改图像的性质，如数据点的大小、颜色等等的，只需要在对象上点右键，就差不多可以找到了。”

上面所说的X，Y向量就是样本点。

下面是转载的网址，希望有用处

ilovematlab是个不错的论坛，我也是刚发现，不过帮助很大，基本的问题在那都会有答案。

Q3: 傅里叶函数

傅里叶是法国数学家.

傅里叶发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数.傅里叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始.

傅里叶变换用于将复杂信号分解为正弦或余弦三角函数的组合.在电能质量分析及谐波检测中,利用傅里叶变换可以准确的获取信号的频率构造,对复杂信号进行定量分析和进行准确的数学描述.

Q4: 傅立叶奇函数

当f(t)为奇函数时,f（t)coswt为奇函数,所以f（t)coswt在－∞到＋∞上的积分为0；

而f(t)sinwt为偶函数,所以f(t)sinwt在－∞到＋∞上的积分为0到＋∞上的积分的2倍,

-j是被积函数f(t)sinwt前的系数,故多了一个-2j

（明白否?不明白再问）

Q5: 什么是傅里叶函数

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数。

目录

傅里叶级数

傅里叶级数的公式

傅里叶级数的收敛性

三角函数族的正交性

奇函数和偶函数

广义傅里叶级数

编辑本段傅里叶级数

Fourier series 一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 傅里叶级数

多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 ============================================================================================================

编辑本段傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： mathx(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math（j为虚数单位）（1） 其中，matha_k/math可以按下式计算： 傅里叶级数

matha_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}/math（2） 注意到mathf_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=\pm 1/math时具有基波频率math\omega_0=\frac{2\pi}{T}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

编辑本段傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 傅里叶级数

在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

编辑本段三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math 傅里叶级数

math\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math math\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math math\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math

编辑本段奇函数和偶函数

奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数： mathf_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);/math 傅里叶级数

mathf_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

编辑本段广义傅里叶级数

任何正交函数系math\{ \phi(x)\}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程： math\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math (4)， 那么级数math\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中: mathc_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6)。 傅里叶级数

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： math\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math\{e_i\}^{N}_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。