python勒让德函数,勒让德函数生成函数

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chpt.3 补充——勒让德变换(Legendre transform))

在数学中，我们经常会将一个函数表示为关于其导数的函数形式。如果令，函数则是我们变换后的函数；它是函数的勒让德变换。

勒让德变换是自身的逆变换。

勒让德变换是一个求最大值的过程。

只有当目标函数本身是凸函数时（）变换才有明确定义。

勒让德变换点和线之间二象关系的应用。即，的函数关系也可以被等价地表示成点集或者有确定斜率和截距的切线家族。

推广：勒让德-芬切尔变换(Legendre-Fenchel transform) 。

定义一

其中表示对变量的最小上界。（当存在最大值时，即为最大值）

定义二

将最大化，需：

所以最值的条件为：

因为为凸函数(convex function) ，该值亦是最大值：

根据最值条件，求变量关于的反函数，再代入得到：

这是定义一的具体表述。

定义三

如果函数和的一阶导互为反函数：

它们被称为彼此的勒让德变换。其中是微分算符。

该定义很好验证，

结合最值条件，就可以得到

根据上式不难看出，与的唯一性只精确到一个可加常数，所以常数的确定通常需要额外的约束条件：

（i）标准型

（ii）非标准型

后者多用于热力学。

表达式是一条经过原点并与原函数在点相切的直线。最大化意味着我们要寻找在原函数上一点，使得

最大，因此切线与轴的截距必须位于最下方。

点在函数上，设切线方程为

利用斜率表达式，反求

代入切线方程，求解截距

其中是的勒让德变换。

可将切线表示为含有参数的形式：

或者隐性地写成：

定义

条件

证明

对等式两边求从到的积分：

左边根据微积分基本原理得到

做代换

于是

对右边使用分部积分法

进一步整理得到

观察，等式左边是仅依赖的表达式，而右边是仅依赖的表达式，两者相等只可能双方均为常数：

令，整理后便可得到

并且

在热力学中，我们经常将一些物理量（内能，自由能等）用新的变量来表示。

一般技巧如下：

1. 找出新变量。根据勒让德变换的定义，新变量是原函数对其某原变量的偏导。

2. 反求原变量关于新变量的表达式。

3. 写出函数原变量与新变量的乘积。

4. 将的得到的积与原函数做差。

（例）

内能通常可被写成关于系统的熵（或常规熵），体积以及微粒个数的函数

根据压强的定义

所以当系统的熵和微粒数固定时，存在从函数到函数的勒让德变换（非标准型）。新变量是体积。

利用压强定义反求，再执行步骤 3，4 便可得到

物理学家将该函数称为系统的焓(enthalpy) 。

相关问答

Q1: python中有没有求legendre多项式的解的函数

他们以后被命名 Adrien-Marie Legendre. 这常微分方程频繁地运用到物理并且其他技术领域。特别是当在球状坐标解决 Laplace的等式 (和关连偏微分方程) 时.

Legendre微分方程也许使用标准解决电源串联方法。等式有规则单一点在 x= ± 1如此，级数解关于起源只将一般来说，聚合为 |x| 1. 当 n是整数，解答Pn是规则的(x) x=1也是正规兵在 x=-1和系列为这种解答终止(即。是多项式)。

Q2: 勒让德函数为什么正交

Legendre多项式

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。1

定义

数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：

为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:

上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n为非负整数，即n= 0, 1, 2,... 时，在x= ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

勒让德多项式Pn(x)是n阶多项式，可用罗德里格公式表示为：

正交性

勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤x≤ 1 关于L内积满足正交性，即：1

其中 δmn为克罗内克δ记号，当m=n时为1，否则为0。事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：

其中本征值 λ 对应于原方程中的n(n+1)。

其他性质奇偶性

当阶数k为偶数时，为偶函数；当阶数k为奇数时，为奇函数，即：2

递推关系

相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：

另外，考虑微分后还有以下递推关系：

其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。

移位多项式