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主成分分析PCA数据降维原理及python应用（葡萄酒案例分析）
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主成分分析（PCA）——以葡萄酒数据集分类为例
1、认识PCA
（1）简介
（2）方法步骤
2、提取主成分
3、主成分方差可视化
4、特征变换
5、数据分类结果
6、完整代码
总结：
1、认识PCA（1）简介
数据降维的一种方法是通过特征提取实现，主成分分析PCA就是一种无监督数据压缩技术，广泛应用于特征提取和降维。
换言之，PCA技术就是在高维数据中寻找最大方差的方向，将这个方向投影到维度更小的新子空间。例如，将原数据向量x，通过构建 
维变换矩阵 W，映射到新的k维子空间，通常(
)。
原数据d维向量空间 
经过 
,得到新的k维向量空间 
.
第一主成分有最大的方差，在PCA之前需要对特征进行标准化，保证所有特征在相同尺度下均衡。
（2）方法步骤
- 标准化d维数据集
- 构建协方差矩阵。
- 将协方差矩阵分解为特征向量和特征值。
- 对特征值进行降序排列，相应的特征向量作为整体降序。
- 选择k个最大特征值的特征向量，。
- 根据提取的k个特征向量构造投影矩阵
。 - d维数据经过变换获得k维。
下面使用python逐步完成葡萄酒的PCA案例。
2、提取主成分
下载葡萄酒数据集wine.data到本地，或者到时在加载数据代码是从远程服务器获取，为了避免加载超时推荐下载本地数据集。
来看看数据集长什么样子！一共有3类，标签为1,2,3 。每一行为一组数据，由13个维度的值表示，我们将它看成一个向量。
开始加载数据集。
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
import matplotlib.pyplot as plt# load data
df_wine = pd.read_csv('D:\\PyCharm_Project\\maching_learning\\wine_data\\wine.data', header=None) # 本地加载，路径为本地数据集存放位置
# df_wine=pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/wine.data',header=None)#服务器加载
下一步将数据按7:3划分为training-data和testing-data，并进行标准化处理。
# split the data，train：test=7:3
x, y = df_wine.iloc[:, 1:].values, df_wine.iloc[:, 0].values
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.3, stratify=y, random_state=0)# standardize the feature 标准化
sc = StandardScaler()
x_train_std = sc.fit_transform(x_train)
x_test_std = sc.fit_transform(x_test)
这个过程可以自行打印出数据进行观察研究。
接下来构造协方差矩阵。
维协方差对称矩阵，实际操作就是计算不同特征列之间的协方差。公式如下：
公式中，jk就是在矩阵中的行列下标，i表示第i行数据，
分别为特征列 j，k的均值。最后得到的协方差矩阵是13*13，这里以3*3为例，如下：
下面使用numpy实现计算协方差并提取特征值和特征向量。
# 构造协方差矩阵，得到特征向量和特征值
cov_matrix = np.cov(x_train_std.T)
eigen_val, eigen_vec = np.linalg.eig(cov_matrix)
# print("values\n ", eigen_val, "\nvector\n ", eigen_vec)# 可以打印看看
3、主成分方差可视化
首先，计算主成分方差比率，每个特征值方差与特征值方差总和之比：
代码实现：
# 解释方差比
tot = sum(eigen_val) # 总特征值和
var_exp = [(i / tot) for i in sorted(eigen_val, reverse=True)] # 计算解释方差比，降序
# print(var_exp)
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp) # 累加方差比率
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文
plt.bar(range(1, 14), var_exp, alpha=0.5, align='center', label='独立解释方差') # 柱状 Individual_explained_variance
plt.step(range(1, 14), cum_var_exp, where='mid', label='累加解释方差') # Cumulative_explained_variance
plt.ylabel("解释方差率")
plt.xlabel("主成分索引")
plt.legend(loc='right')
plt.show()
可视化结果看出，第一二主成分占据大部分方差，接近60%。
4、特征变换
这一步需要构造之前讲到的投影矩阵，从高维d变换到低维空间k。
先将提取的特征对进行降序排列：
# 特征变换
eigen_pairs = [(np.abs(eigen_val[i]), eigen_vec[:, i]) for i in range(len(eigen_val))]
eigen_pairs.sort(key=lambda k: k[0], reverse=True) # (特征值，特征向量)降序排列
从上步骤可视化，选取第一二主成分作为最大特征向量进行构造投影矩阵。
w = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis], eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis])) # 降维投影矩阵W
13*2维矩阵如下：
这时，将原数据矩阵与投影矩阵相乘，转化为只有两个最大的特征主成分。
x_train_pca = x_train_std.dot(w)
5、数据分类结果
使用 matplotlib进行画图可视化，可见得，数据分布更多在x轴方向（第一主成分），这与之前方差占比解释一致，这时可以很直观区别3种不同类别。
代码实现：
color = ['r', 'g', 'b']
marker = ['s', 'x', 'o']
for l, c, m in zip(np.unique(y_train), color, marker):
plt.scatter(x_train_pca[y_train == l, 0],
x_train_pca[y_train == l, 1],
c=c, label=l, marker=m)
plt.title('Result')
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()
本案例介绍PCA单个步骤和实现过程，一点很重要，PCA是无监督学习技术，它的分类没有使用到样本标签，上面之所以看出3类不同标签，是后来画图时候自行添加的类别区分标签。
6、完整代码
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
import matplotlib.pyplot as pltdef main():
# load data
df_wine = pd.read_csv('D:\\PyCharm_Project\\maching_learning\\wine_data\\wine.data', header=None) # 本地加载
# df_wine=pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/wine.data',header=None)#服务器加载 # split the data，train：test=7:3
x, y = df_wine.iloc[:, 1:].values, df_wine.iloc[:, 0].values
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.3, stratify=y, random_state=0) # standardize the feature 标准化单位方差
sc = StandardScaler()
x_train_std = sc.fit_transform(x_train)
x_test_std = sc.fit_transform(x_test)
# print(x_train_std) # 构造协方差矩阵，得到特征向量和特征值
cov_matrix = np.cov(x_train_std.T)
eigen_val, eigen_vec = np.linalg.eig(cov_matrix)
# print("values\n ", eigen_val, "\nvector\n ", eigen_vec) # 解释方差比
tot = sum(eigen_val) # 总特征值和
var_exp = [(i / tot) for i in sorted(eigen_val, reverse=True)] # 计算解释方差比，降序
# print(var_exp)
# cum_var_exp = np.cumsum(var_exp) # 累加方差比率
# plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文
# plt.bar(range(1, 14), var_exp, alpha=0.5, align='center', label='独立解释方差') # 柱状 Individual_explained_variance
# plt.step(range(1, 14), cum_var_exp, where='mid', label='累加解释方差') # Cumulative_explained_variance
# plt.ylabel("解释方差率")
# plt.xlabel("主成分索引")
# plt.legend(loc='right')
# plt.show() # 特征变换
eigen_pairs = [(np.abs(eigen_val[i]), eigen_vec[:, i]) for i in range(len(eigen_val))]
eigen_pairs.sort(key=lambda k: k[0], reverse=True) # (特征值，特征向量)降序排列
# print(eigen_pairs)
w = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis], eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis])) # 降维投影矩阵W
# print(w)
x_train_pca = x_train_std.dot(w)
# print(x_train_pca)
color = ['r', 'g', 'b']
marker = ['s', 'x', 'o']
for l, c, m in zip(np.unique(y_train), color, marker):
plt.scatter(x_train_pca[y_train == l, 0],
x_train_pca[y_train == l, 1],
c=c, label=l, marker=m)
plt.title('Result')
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()if __name__ == '__main__':
main()
总结：
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
import matplotlib.pyplot as pltdef main():
# load data
df_wine = pd.read_csv('D:\\PyCharm_Project\\maching_learning\\wine_data\\wine.data', header=None) # 本地加载
# df_wine=pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/wine.data',header=None)#服务器加载 # split the data，train：test=7:3
x, y = df_wine.iloc[:, 1:].values, df_wine.iloc[:, 0].values
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.3, stratify=y, random_state=0) # standardize the feature 标准化单位方差
sc = StandardScaler()
x_train_std = sc.fit_transform(x_train)
x_test_std = sc.fit_transform(x_test)
# print(x_train_std) # 构造协方差矩阵，得到特征向量和特征值
cov_matrix = np.cov(x_train_std.T)
eigen_val, eigen_vec = np.linalg.eig(cov_matrix)
# print("values\n ", eigen_val, "\nvector\n ", eigen_vec) # 解释方差比
tot = sum(eigen_val) # 总特征值和
var_exp = [(i / tot) for i in sorted(eigen_val, reverse=True)] # 计算解释方差比，降序
# print(var_exp)
# cum_var_exp = np.cumsum(var_exp) # 累加方差比率
# plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文
# plt.bar(range(1, 14), var_exp, alpha=0.5, align='center', label='独立解释方差') # 柱状 Individual_explained_variance
# plt.step(range(1, 14), cum_var_exp, where='mid', label='累加解释方差') # Cumulative_explained_variance
# plt.ylabel("解释方差率")
# plt.xlabel("主成分索引")
# plt.legend(loc='right')
# plt.show() # 特征变换
eigen_pairs = [(np.abs(eigen_val[i]), eigen_vec[:, i]) for i in range(len(eigen_val))]
eigen_pairs.sort(key=lambda k: k[0], reverse=True) # (特征值，特征向量)降序排列
# print(eigen_pairs)
w = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis], eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis])) # 降维投影矩阵W
# print(w)
x_train_pca = x_train_std.dot(w)
# print(x_train_pca)
color = ['r', 'g', 'b']
marker = ['s', 'x', 'o']
for l, c, m in zip(np.unique(y_train), color, marker):
plt.scatter(x_train_pca[y_train == l, 0],
x_train_pca[y_train == l, 1],
c=c, label=l, marker=m)
plt.title('Result')
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()if __name__ == '__main__':
main()
本案例介绍PCA步骤和实现过程，单步进行是我更理解PCA内部实行的过程，主成分分析PCA作为一种无监督数据压缩技术，学习之后更好掌握数据特征提取和降维的实现方法。记录学习过程，不仅能让自己更好的理解知识，而且能与大家共勉，希望我们都能有所帮助！
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