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python基础——递归函数

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python基础——递归函数

递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。举个例子，我们来计算阶乘 n! = 1 x 2 x 3 x ... x n ，用函数 fact(n) 表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以， fact(n) 可以表示为 n x fact(n-1) ，只有n=1时需要特殊处理。于是， fact(n) 用递归的方式写出来就是： 

def fact(n):

    if n==1:

        return 1

    return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试： 

>>> fact(1)

1

>>> fact(5)

120

>>> fact(100)

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算 fact(5) ，可以根据函数定义看到计算过程如下： 

===> fact(5)

===> 5 * fact(4)

===> 5 * (4 * fact(3))

===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))

===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))

===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))

===> 5 * (4 * (3 * 2))

===> 5 * (4 * 6)

===> 5 * 24

===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。 可以试试 fact(1000) ： 

>>> fact(1000)

Traceback (most recent call last):

  File "<stdin>", line 1, in <module>

  File "<stdin>", line 4, in fact

  ...

  File "<stdin>", line 4, in fact

RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解决递归调用栈溢出的方法是通过 尾递归 优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的 fact(n) 函数由于 return n * fact(n - 1) 引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中： 

def fact(n):

    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):

    if num == 1:

        return product

    return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到， return fact_iter(num - 1, num * product) 仅返回递归函数本身， num - 1 和 num * product 在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5) 对应的 fact_iter(5, 1) 的调用如下： 

===> fact_iter(5, 1)

===> fact_iter(4, 5)

===> fact_iter(3, 20)

===> fact_iter(2, 60)

===> fact_iter(1, 120)

===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的 fact(n) 函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出 。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出 。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题 。

练习

汉诺塔的移动可以用递归函数非常简单地实现。

请编写 move(n, a, b, c) 函数，它接收参数 n ，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法。

代码： 

 def move(n,a,b,c):

     if n==1:

         print('move',a, '-->',c)

         return

     move(n-1,a,c,b)

     print('move',a, '-->',c)

     move(n-1,b,a,c)

 move(4,'A','B','C')

运行结果：

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