正文
[ACM] POJ 3233 Matrix Power Series （求矩阵A+A^2+A^3...+A^k，二分求和或者矩阵转化）
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Matrix Power Series
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Description
Given a n × n matrix A and a positive integer k , find the sum S = A + A 2 + A 3 + … + A k .
Input
The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers
n
(
n
≤ 30),
k
(
k
≤ 10
9
) and
m
(
m
< 10
4
). Then follow
n
lines each containing
n
nonnegative
integers below 32,768, giving
A
’s elements in row-major order.
Output
Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.
Sample Input
2 2 4
0 1
1 1
Sample Output
1 2
2 3
Source
field=source&key=POJ+Monthly--2007.06.03" style="text-decoration:none">POJ Monthly--2007.06.03
, Huang, Jinsong解题思路：
第一种方法：
题意为给定矩阵A（以下代码中用ori表示)。以及k, mod ,求 A+A^2+A^3+......A^k 的和对mod取余。
一開始用循环k次，递推的做法，超时。
。。
看了解题报告，求和的时候要用到二分求和。
所求的和用s(k)表示。
当k为偶数时：
比方 k=6,那么 A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6= A+A^2+A^3+ A^3*（A+A^2+A^3）
s(k)=s(k/2)+A^(n/2) * s(k/2) 即s(k)=(E+A^(n/2))*s(n/2) （E为单位矩阵）
当k为奇数时：
s(k)=s(k-1)+A^k , 那么k-1为偶数。能够依照上面的二分
PS：代码要写细致啊，否则一个小错误查半天.....计算两个矩阵相乘时ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j]; 居然写成了ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*a.arr[k][j]; T T
代码：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=31;
int n,k,mod; struct mat
{
int arr[maxn][maxn];
mat()
{
memset(arr,0,sizeof(arr));
}
}; mat mul(mat a,mat b)
{
mat ret;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int k=0;k<n;k++)
{
if(a.arr[i][k])
for(int j=0;j<n;j++)
{
ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
if(ret.arr[i][j]>=mod)
ret.arr[i][j]%=mod;
}
}
return ret;
} mat add(mat a,mat b)
{
mat an;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
an.arr[i][j]=a.arr[i][j]+b.arr[i][j];
if(an.arr[i][j]>=mod)
an.arr[i][j]%=mod;
}
return an;
} mat power(mat p,int k)
{
if(k==1) return p;
mat e;
for(int i=0;i<n;i++)
e.arr[i][i]=1;
if(k==0) return e;
while(k)
{
if(k&1)
e=mul(p,e);
p=mul(p,p);
k>>=1;
}
return e;
} void output(mat ans)
{
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(j==n-1)
cout<<ans.arr[i][j]<<endl;
else
cout<<ans.arr[i][j]<<" ";
}
} mat cal(mat ori,int k)
{
if(k==1) return ori;
if(k&1)
return add(cal(ori,k-1),power(ori,k));//当k为奇数时，减1变为偶数 S(K)=S(K-1)+ori^K
else
return mul(add(power(ori,0),power(ori,k>>1)),cal(ori,k>>1));
//当K为偶数时,S(K)=(1+ori^(K/2))*S(K/2)
} int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF)
{
mat ori,ans;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&ori.arr[i][j]);
if(ori.arr[i][j]>=mod)
ori.arr[i][j]%=mod;
}
ans=cal(ori,k);
output(ans);
}
return 0;
}
另外一种方法：
解题思路转载自：http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/05/28/3103336.html
分析：求a^1+..a^n这是矩阵乘法中关于等比矩阵的求法：
|A E|
|0 E|
当中的A为m阶矩阵。E是单位矩阵，0是零矩阵。而我们要求的是：
A^1+A^2+..A^L。由等比矩阵的性质
|A , 1| |A^n , 1+A^1+A^2+....+A^(n-1)|
|0 , 1| 的n次方等于|0 , 1 |
所以我们仅仅须要将A矩阵扩大四倍，变成如上形式的矩阵B。然后开L+1次方就能够得到1+A^1+A^2+....+A^L。
因为多了一个1。所以最后得到的答案我们还要减去1。
同理我们把矩阵A变成B：
|A E|
|0 E|
然后我们就是求B的n+1次幂之后得到的矩阵为|x1 x2|
|x3 x4|
右上角的矩阵x2减去单位矩阵E，得到就是要求的矩阵了。
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=62;
int n,k,mod; struct mat
{
int arr[maxn][maxn];
mat()
{
memset(arr,0,sizeof(arr));
}
}; mat mul(mat a,mat b)
{
mat ans;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int k=0;k<n;k++)
{
if(a.arr[i][k])
for(int j=0;j<n;j++)
{
ans.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
if(ans.arr[i][j]>=mod)
ans.arr[i][j]%=mod;
}
}
return ans;
} mat power(mat p,int k)
{
if(k==1) return p;
mat e;
for(int i=0;i<n;i++)
e.arr[i][i]=1;
if(k==0) return e;
while(k)
{
if(k&1)
e=mul(e,p);
p=mul(p,p);
k>>=1;
}
return e;
} void output(mat ans)
{
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(i==j)
{
ans.arr[i][j+n]--;
while(ans.arr[i][j+n]<0)
ans.arr[i][j+n]+=mod;
}
if(j==n-1)
cout<<ans.arr[i][j+n]<<endl;
else
cout<<ans.arr[i][j+n]<<" ";
}
} int main()
{
while(cin>>n>>k>>mod)
{
mat ori,ans;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
cin>>ori.arr[i][j];
if(i==j)
{
ori.arr[i][j+n]=1;
ori.arr[i+n][j+n]=1;
}
}
n*=2;
ans=power(ori,k+1);
n/=2;
output(ans);
}
return 0;
}
