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【AGC018F】Two Trees 构造 黑白染色

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题目描述

有两棵有根树，顶点的编号都是\(1\)~\(n\)。

你要给每个点一个权值\(a_i\)，使得对于两棵树的所有顶点\(x\)，满足\(|x\)的子树的权值和\(|=1\)

\(n\leq 100000\)

题解

我们很容易得到只考虑一棵树时每个点的权值的奇偶性。如果只考虑\(A\)树时的奇偶性与只考虑\(B\)树时的奇偶性不同，就无解。

现在我们构造一个\(a_i\in\{-1,0,1\}\)的方案。

如果一个点的儿子个数是奇数，那么\(a_i=0\)，否则\(a_i\neq 0\)。

现在只考虑一棵子树。

对于每一棵子树，一定有\(2k+1\)个权值是奇数的点。

证明：因为整棵子树的权值和是奇数，所以有奇数个权值是奇数的点。

那么可以匹配出\(k\)对点和剩下一个点。对于一对点\((x,y)\)，令\(a_x=-a_y\)。所以整棵子树的权值和就是\(\pm1\)。我们在\(x,y\)之间连一条边。对于每个点

这样得到的图每个点的度数\(\leq 1\)。

然后把两棵树得到的边合在一起，得到的图就是一个二分图。

为什么？因为如果有奇环就一定会有相邻两条边来自同一棵树，但这是不可能的。所以就没有奇环。

对于这个图黑白染色，黑色的点选\(1\)，白色的点选\(-1\)。

时间复杂度：\(O(n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
struct graph
{
int v[200010];
int t[200010];
int h[100010];
int n;
graph()
{
n=0;
}
void add(int x,int y)
{
v[++n]=y;
t[n]=h[x];
h[x]=n;
}
};
graph g1,g2,g;
int fa[100010];
int fb[100010];
int a1[100010];
int a2[100010];
int st[100010];
int top;
int b[100010];
int c[100010];
void dfs1(int x)
{
int i;
for(i=g1.h[x];i;i=g1.t[i])
dfs1(g1.v[i]);
if(a1[x])
st[++top]=x;
while(top>=2)
{
g.add(st[top],st[top-1]);
g.add(st[top-1],st[top]);
top-=2;
}
}
void dfs2(int x)
{
int i;
for(i=g2.h[x];i;i=g2.t[i])
dfs2(g2.v[i]);
if(a2[x])
st[++top]=x;
while(top>=2)
{
g.add(st[top],st[top-1]);
g.add(st[top-1],st[top]);
top-=2;
}
}
void dfs(int x,int v)
{
c[x]=v;
b[x]=1;
int i;
for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
if(!b[g.v[i]])
dfs(g.v[i],-v);
}
int main()
{
//open("agc018f");
int n;
scanf("%d",&n);
int i;
int rt1,rt2;
for(i=1;i<=n;i++)
a1[i]=a2[i]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&fa[i]);
if(fa[i]==-1)
rt1=i;
else
{
g1.add(fa[i],i);
a1[fa[i]]^=1;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&fb[i]);
if(fb[i]==-1)
rt2=i;
else
{
g2.add(fb[i],i);
a2[fb[i]]^=1;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(a1[i]!=a2[i])
{
printf("IMPOSSIBLE\n");
return 0;
}
printf("POSSIBLE\n");
top=0;
dfs1(rt1);
top=0;
dfs2(rt2);
for(i=1;i<=n;i++)
if(!b[i])
dfs(i,1);
for(i=1;i<=n;i++)
if(!a1[i])
printf("0 ");
else
printf("%d ",c[i]);
return 0;
}